例题一: 如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和
【考点】三角形的外角性质;三角形内角和定理. 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠4=∠A+∠2,∠2=∠D+∠C,进而利用三角形的内角和定理求解 解:如图可知: ∵∠4是三角形的外角, ∴∠4=∠A+∠2, 同理∠2也是三角形的外角, ∴∠2=∠D+∠C, 在△BEG中,∠B+∠E+∠4=180°, 即∠B+∠E+∠A+∠D+∠C=180° 例题二: 如图,BI,CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB,
(1)若∠ABC=40°,∠ACB=36°,求∠BIC的大小; (2)若∠A=96°,试求∠BIC; (3)根据前面问题的求解,请归纳∠BIC和∠A的数量关系并进行证明. 分析: (1)运用三角形的内角和定理及角平分线的定义,求出∠IBC+∠ICB的值,即可解决问题. (2)先根据∠A=96°,得出∠1+∠2=84°,再运用(1)中的方法即可解决问题. (3)证明思路方法即(2)中的方法. 解:(1)如图所示,∵∠ABC=40°,∠ACB=36°, ∴∠DBC=140°,∠ECB=144°, 又∵BI,CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB, ∴∠3=1/2∠DBC=70°,∠4=1/2∠ECB=72°, ∴△BCI中,∠I=180°-70°-72°=38° (2)∵∠A=96°, ∴∠1+∠2=84°, ∴∠DBC+∠ECB=276°, 又∵BI,CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB, ∴∠3+∠4=1/2(∠DBC+∠ECB)=1/2×276°=138°, ∴△BCI中,∠I=180°-138°=42° (3)∠BIC=90°-∠A. 证明:△ABC中,∠1+∠2=180°-∠A, ∴∠DBC+∠ECB=360°-(180°-∠A)=180°+∠A, 又∵BI,CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB, ∴∠3+∠4=1/2(∠DBC+∠ECB) =1/2×(180°+∠A) =90°+1/2∠A, ∴△BCI中,∠I=180°-(∠3+∠4) =180°-(90°+1/2∠A) =90°-1/2∠A 例题三: 已知:在△ABC和△XYZ中,∠A=40°,∠Y+∠Z=95°,将△XYZ如图摆放,使得∠X的两条边分别经过点B和点C.
(1)当将△XYZ如图1摆放时,则∠ABX+∠ACX= 度; (2)当将△XYZ如图2摆放时,请求出∠ABX+∠ACX的度数,并说明理由; (3)能否将△XYZ摆放到某个位置时,使得BX、CX同时平分∠ABC和∠ACB?请直接写出你的结论 【考点】三角形的外角性质;三角形内角和定理. 【分析】(1)要求∠ABX+∠ACX的度数,只要求出∠ABC+∠CBX+∠ACB+∠BCX,利用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°;根据三角形内角和定理,∠CBX+∠BCX=∠Y+∠Z=95°,∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠CBX+∠ACB+∠BCX=140°+95°=235°; (2)要求∠ABX+∠ACX的度数,只要求出∠ABC+∠ACB-(∠BCX+∠CBX)的度数.根据三角形内角和定理,∠CBX+∠BCX=∠Y+∠Z=95°;根据三角形内角和定理得,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°,∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠ACB-(∠BCX+∠CBX)=140°-95°=45°; (3)不能.假设能将△XYZ摆放到某个位置时,使得BX、CX同时平分∠ABC和∠ACB.则∠CBX+∠BCX=∠ABX+∠ACX=95°,那么∠ABC+∠ACB=190°,与三角形内角和定理矛盾,所以不能. 解:(1)在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140° 在△BCX中,∠X+∠BCX+∠CBX=180° ∴∠BCX+∠CBX=180°-∠X 在△XYZ中,∠X+∠Y+∠Z=180° ∴∠Y+∠Z=180°-∠X ∴∠CBX+∠BCX=∠Y+∠Z=95° ∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠CBX+∠ACB+∠BCX=140°+95°=235°;
(2)∠ABX+∠ACX=45度.理由如下: ∵∠Y+∠Z=95° ∴∠X=180°-(∠Y+∠Z)=85° ∴∠ABX+∠ACX=180°-∠A-∠XBC-∠XCB =180°-40°-(180°-85°) =45°;
(3)不能.假设能将△XYZ摆放到某个位置时,使得BX、CX同时平分∠ABC和∠ACB.则∠CBX+∠BCX=∠ABX+∠ACX=95°,那么∠ABC+∠ACB=190°,与三角形内角和定理矛盾,所以不能。 #免费福利包领取#
我在个人所建相应班级微信里,会免费分享相关配套练习题,如有需要,长按下方二维码添加即可,(备注年级+教材版本)即可邀你进群,获取相关学习资料。 简介:(公众号ID:mzsx11) 数学发烧友,专注数学提分技巧,数学思维开发。 某知名教育在线平台签约教师。愿做您身边的教育顾问,与您分享交流教育心得。
|