【原】压轴题打卡74：二次函数有关的综合问题分析

已知二次函数y=x²+bx+c（b，c为常数）．

（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值；

（Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；

（Ⅲ）当c=b²时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．

参考答案：

解：（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，二次函数的解析式为y=x²+2x﹣3=（x+1）²﹣4，

∴当x=﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；

（Ⅱ）当c=5时，二次函数的解析式为y=x²+bx+5，

由题意得，x²+bx+5=1有两个相等是实数根，

∴△=b²﹣16=0，

解得，b₁=4，b₂=﹣4，

∴二次函数的解析式y=x²+4x+5，y=x²﹣4x+5；

（Ⅲ）当c=b²时，二次函数解析式为y═x²+bx+b²，

图象开口向上，对称轴为直线x=﹣b/2，

①当﹣b/2＜b，即b＞0时，

在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，

∴当x=b时，y=b²+b·b+b²=3b²为最小值，

∴3b²=21，解得，b₁=﹣√7（舍去），b₂=√7；

②当b≤﹣b/2≤b+3时，即﹣2≤b≤0，

∴x=﹣b/2，y=3b²/4为最小值，

∴3b²/4=21，解得，b₁=﹣2√7（舍去），b₂=2√7（舍去）；

③当﹣b/2＞b+3，即b＜﹣2，

在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，

故当x=b+3时，y=（b+3）²+b（b+3）+b²=3b²+9b+9为最小值，

∴3b²+9b+9=21．解得，b₁=1（舍去），b₂=﹣4；

∴b=√7时，解析式为：y=x²+√7x+7

b=﹣4时，解析式为：y=x²﹣4x+16．

综上可得，此时二次函数的解析式为y=x²+√7x+7或y=x²﹣4x+16．

考点分析：

二次函数的最值；二次函数的性质；压轴题．

题干分析：

（Ⅰ）把b=2，c=﹣3代入函数解析式，求二次函数的最小值；

（Ⅱ）根据当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，得到x²+bx+5=1有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式；

（Ⅲ）当c=b²时，写出解析式，分三种情况减小讨论即可．

解题反思：

本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣b/2a时，y=（4ac-b²）/4a；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣b/2a时，y=（4ac-b²）/4a；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．