中考数学压轴题分析：一次函数含参问题

Hi老刘老师 2021-03-20

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遇到未知数的运算问题，大家都感觉头大。因此函数含参的问题对大家来说都是一个难点。平时在学习过程中一定要注意培养运算能力，特别是到了高中，对运算能力比较重视。本文内容选自2020年宜昌中考数学压轴题，涉及函数含参问题，比较抽象，需要仔细审题。

【中考真题】

（2020·宜昌）已知函数，均为一次函数，为常数．

（1）如图1，将直线绕点逆时针旋转得到直线，直线交轴于点．若直线恰好是，中某个函数的图象，请直接写出点坐标以及可能的值；
（2）若存在实数，使得成立，求函数，图象间的距离；
（3）当时，函数图象分别交轴，轴于，两点，图象交轴于点，将函数的图象最低点向上平移个单位后刚好落在一次函数图象上．设的图象，线段，线段围成的图形面积为，试利用初中知识，探究的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．
【分析】

题（1）只需分两种情况讨论即可。根据旋转易得点B的坐标，再代入可以得到m的值。

题（2）中的关键是求m的值。由于b的值未知，因此不容易求解。不过观察形式，给的条件类似“0+0=0”的非负数和为0的问题。不过中间是减号，因此容易误导。根据1-b≥0，可以得到b的范围，进而得到-（b-1）为正数，恰好满足0+0=0这种情况。求出m的值之后代入解析式，画出图象再求距离就不难了。

题（3）需要根据题意，表示出点F的坐标，再求出其平移后的坐标，代入到y1的解析式中。求出m的值。

但是题目中抛物线与OD、OE围成的图形不是规则的图形，要求面积并不容易。因此题目只需探究一个近似值即可。

根据条件画出图形，如上图所示。可以先求出△ODE的面积，然后再平移DE使得它与抛物线相切，可以求出切线的方程，然后找到与x轴、y轴的交点M、N，求出△OMN的面积。那么S一定介于二者之间。

【答案】解：（1）由题意，，
，
当是直线时，，解得，
当直线是直线时，，解得，
，的值为1或0．

（2），
，
，
，，
，，
，，
如图1中，设直线交轴于，交轴于，直线交轴于，交轴于．

，，
四边形是正方形，
，
直线与直线之间的距离为．

（3）图象分别交轴，轴于，两点，图象交轴于点，
，，，，
，
，
，
二次函数的开口向上，图象的最低点是顶点，
顶点，，
函数的图象最低点向上平移个单位后刚好落在一次函数图象上，
且，
解得，
，，，
，，，
由得到与轴，轴的交点为，，，，
抛物线经过，，两点，
的图象，线段，线段围成的图形是封闭图形，为该封闭图形的面积，
探究方法：利用规则图形面积来估计不规则图形的面积．