中考数学压轴题分析：相似存在性问题

求直线的垂线的解析式，在高中是一个比较简单的问题，有公式可以利用，在初中阶段主要利用90°进行构造。本文还涉及45°角的存在性问题。利用特殊角的性质进行求解，内容选自2020年贵港中考数学倒数第2题，难度不大。

【中考真题】

（2020·贵港）如图，已知抛物线与轴相交于，，与轴相交于点，直线，垂足为．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若直线与该抛物线的另一个交点为，求点的坐标；
（3）设动点在该抛物线上，当时，求的值．

【分析】

题（1）求解析式根据待定系数法解方程即可。
题（2）需要求已知直线垂线的解析式。有两个几个思路：①根据高中两直线垂直的斜率关系，求出k，然后再代入点C的坐标即可。②求出l与x轴的交点坐标，然后待定系数法即可。③当然，表示出与x轴的交点坐标，然后利用相似，再得到k的值也可以。几何法主要还是利用90°进行求解。
题（3）中45°比较特殊，而且还有垂线l，易得等腰直角三角形，利用特殊角得到等量关系。
【答案】解：（1）将点、的坐标代入抛物线的表达式得，解得，
故抛物线的表达式为①；

（2）过点作轴于点，
而直线，轴，

，，
，
，
，则，
而点、的坐标分别为、，则，，设点，
则，，
则，解得（舍去）或，
当时，，
故点的坐标为；

（3）①当点在轴的上方时，
由点、的坐标得，直线的表达式为，

延长交直线于点，设点，
，直线，
为等腰直角三角形，则，
则，解得，
故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为②，
联立①②并解得（舍去）或，
故点的横坐标；
②当点在轴的下方时，
同理可得（舍去）或，
故，
综上，或．