资产组合理论

(一)风险与分散

假设有1到n种资产，资产i和资产j之间的相关系数用pij表示，对应的每一种资产的权重分别是w1，w2……Wn, 当然所有资金都用于投资这些资产，所以权重之和等于1。有了上次的基础，很容易计算，这n种资产所组成的组合P，其期望收益率就等于各自期望收益率的加权平均。它的方差公式会变得比较复杂了，但是它的含义还是比较直观的，就是组合的方差等于各自方差乘以对应的权重的平方加上两两之间的协方差。所以，相当于n种资产组合，它的方差等于n²个项加起来。

如果用协方差矩阵来表示会更加直观，我们可以看到这其实是一个对称的矩阵，资产i和资产j之间的协方差与资产j和资产i之间的协方差是一样的，组合的方差可以写成两部分，第一部分是每种资产本身的方差，第二部分是两两之间的协方差的加总。现在假设一种特殊的情况，在这个特殊情况下，两两之间的相关系数都是相同的,等于p，每种资产的权重也是一样的，等于1/n,每种资产的标准差也是一样的，都等于σ。这时候我们可以发现上面的式子可以化简为下面这个式子:

第1部分总共有n项加起来，因为协方差矩阵总共有n的平方项,所以剩下第2部分的协方差就剩了n2- n项。这时候再假设当n变得无穷大的时候，也就是说这个组合无限分散的时候，会发现，上面两部分里面只有后面一部分是保留了下来的，它的数额等于ρxσ,那第1部分呢?你发现它的极限是等于0的，也就是说第1部分一由资产各自风险所组成的部分——消失了 ，更确切的讲， 是分散掉了。

所以当组合足够分散的时候，最后只剩下两两之间的相关部分的风险。那为什么两种资产之间会存在相关性呢?这是因为他们受到共同的因素影响，这种共同的因素，我们称之为系统性因素，对应的这部分风险，我们称之为系统性风险，而每种资产本身所具有的风险中，系统性风险之外的，我们称之为非系统性风险。在这里我们通过充分分散，使得我的风险从σ降低到了ρσ°。现实中是不是一定要投资非常非常多的股票,才能实现这种充分分散呢?实际的数据告诉我们并不需要。在这张图上我们可以看到。我们只需要随机地买20种左右的股票就可以实现很大的分散了。所以我们说，不要把鸡蛋放在一个篮子里，但也不需要一个篮子一个鸡蛋。

(二)多种资产收益和风险的关系

刚刚我们讲了一种特殊的情况，通过n种资产组合能实现大幅的风险降低。那一般化的情况会怎么样呢?

同样的,我们假设有很多种资产在市场上可以投资,我现在随机选了6个资产出来,当然这张图里面还有很多资产，这时候假设我想实现R这么高的收益，可能想到了一种方法是，通过B和B'组合，组合成Pg，这时候可以实现R的收益,同时承担的风险是σg，有没有更好的选择呢?实际上还可以通过C和C'组合，组合成Pc这个组合，它同样实现了R的收益，这时候对应的风险为σc，如果只考虑这两种情况，会选择哪个呢?肯定会选择收益率相同的情况下，风险更小的Pc，还有没有更好的组合呢?我们发现这上面任意点之间都可能可以组合，比如还可以通过C和C'连成的蓝色线上的点，A与A'的蓝线上的点或者B和B'蓝色线上的点进行组合,所以这个组合可以不断的优化，而之前学过风险资产两两之间的组合，如果他不是完全正相关或者负相关的话，这个组合的轨迹就是-根曲线，所以如果我们基于收益率给定的条件下，最小化风险。这个曲线可以一直尽可能往左边凸，直到不能再进行为止，这时候就得到n种资产所组成最优组合的风险和收益的关系，这根曲线我们叫做有效前沿，或者叫均-方差有效组合。曲线连同其右边的组合叫做可行性集，在这样一个二维坐标系下，可以证明它是一个双曲线。

(三)无差异曲线和最优投资

得到这样一个有效前沿,投资者怎么去选择最优的投资组合呢?这时候让我们思考一下：一个投资者,他主观上应该怎么评价一个组合是好还是差呢?可以考量资产的风险和收益，给投资者带来的主观感受是什么样的。收益越高，风险越低的组合可以带来更高的满足感。如果我们把所有的，能带来-样满足感的组合连起来，它的形状是怎么样的呢?显然他一定是往右上方倾斜的，因为风险提高的情况下，为了保持满足感不变,收益也一定要提高。这时候的问题是：它是一根直线往右上方，还是一个上凸的，或者下凸的曲线呢?

让我们想象一下，跟别人打个赌，赌注是1块钱的话，我们可能很欣然的接受了，但是如果赌注是100万呢，我们可能就拒绝了。所以，当风险越来越大的时候，投资者会变得越来越风险厌恶。也就是说随着风险的增加，每一单位风险所要求的收益补偿会越来越大。这时候我们可以看到，保持满足感不变的线是下凸的!

这根线我们称之为无差异曲线,所以最优的组合是什么样的呢?对于一个投资者来讲，最优的组合就是他的无差异曲线与刚刚我们得到的风险资产有效前沿相切的点。

到这里，我们终于得到了一个可以指导我们进行投资的一般理论了。这个理论告诉我们，不用再去赌某一只股票是不是好股票，我们的最优决策应该是结合自己的风险偏好，去分散购买资产组合，这个组合就是有效前沿上的与无差异曲线相切的点。这就是大名鼎鼎的马科维茨的资产组合理论。

但是真正实践这个马科维茨资产组合理论的时候是相当困难的，因为为了得到有效前沿，我们需要大量的参数。假设有n个资产的话，需要估计: n个期望收益率、n个标准差、(n2-n)/2 个协方差，合计是(n2+3n)/2个参数。随着资产数的增加，所需要估计的参数是以平方级的比例增加的。以100个资产为例，你需要估计5150个参数。马科维茨的资产组合理论发表于1952年，那时候计算机才刚刚发明没几年。这样的参数估计和优化使得在实际中应用大打折扣。那我们能不能再把这个理论再往前推一步呢?我们下次课来讲。