一道四点共圆解决线段求值问题

在介绍问题之前先梳理一下相关的知识点：

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【前置知识】

1.圆周角定理：

如图，⊙O的两条弦AC与BD相交于点E，那么就可以根据圆周角定理，得到同弧所对的圆周角相等，如∠A=∠D.

2.圆周角定理的推论：

①如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则根据圆的内接四边形对角互补，可以得到∠A+∠C=∠B+∠D=180°.

②如图，AC是⊙O的直径，那么根据直径所对的圆周角是直角，可以得到∠B=90°.

③反过来，如上图，如果∠B=90°，那么根据直角所对的弦是直径，可以发现AC是⊙O的直径.

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那大家常说的四点共圆是什么呢？其实主要是指以上几个定理的逆定理.

【四点共圆】

类型一：等角对同线

如图，若∠A=∠D，则点A、B、C、D四点共圆.

↓

类型二：对角互补

如图，若∠A+∠C=180°，则点A、B、C、D四点共圆.

↓

类型三：有一组对角都是直角的四边形

如图，若∠B=∠D=90°，则点A、B、C、D四点共圆.

↓

类型四：同侧共斜边的直角三角形

如图，若∠B=∠D=90°，，则点A、B、C、D四点共圆.

↓

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有了以上的一些内容，我们可以来研究一道题目：

【题目】

如图，在平面直角坐标系种，点B为x轴正半轴上的一个动点，点C为直线l：y=√3x上的一个动点，BC=2，且点B、C不与原点重合，BP⊥x轴，CP⊥l，则OP的长为             .

【答案】4√3/3.

【分析】

根据条件得∠PCO=∠PBO=90°，

则点O、B、P、C四点共圆.

由于BC的长度不变，且∠BOC=60°为定角，

那么该圆的大小是确定的.

如上图，确定外接圆的圆心O′，连接O′B、O′C，

过点O′作O′D⊥BC，

那么就可以利用垂径定理得到r=2√3/3.

那么OP是直角所对的弦，也就是直径，长度为4√3/3.

下面大家可以看一个动态演示