吴正宪：改变学习方式 促进“深度学习”

老师们大家好，今天我和大家做这样一个话题的交流——改变学习方式，促进“深度学习”。首先我们一起看一段很有意思的小录像。

我们怎样使儿童的成长更具有成长性？老师们可能也在想，刚才录像中的男孩，爸爸妈妈一秒钟就可以把他从床上抱下来，但是家长却让孩子自己试一试，他反复的尝试，这个尝试的过程就是他体验的过程，就是他对外界世界感悟的过程，我以为，这个过程因为他的亲自参与了，这样的过程更具有成长性。从刚才的小视频，我也想到我们的小学数学学习，我们面对儿童，怎样让他通过我们的数学学习，使它更具有成长性呢？

改变学习方式，促进深度学习，应该是我们努力探索的一条道路。不管怎样改革，小学数学教学改革的正确方向，还是老生常谈，必须坚守儿童立场，以儿童可持续的全面发展为根本目标，在“保护儿童成长利益”的前提下，来开展一切教学活动（包括课内的、课外的）。

我们要把眼光放的远一点，不能过于只看眼前。如果只看眼前，一秒钟把孩子从床上抱下来解决问题了，但是今后孩子他自己要活动，自己要成长，他必须要经过一次自己不断地参与实践、尝试的这样一个过程，失败了再来，不断的感悟、不断积累经验，这就是孩子的成长。我想这也是对孩子成长利益的一个重要的保护。

这幅图横坐标上写的是数学，我们作为一个数学研究者，作为儿童的数学老师，我们的确要研究数学，研究数学的本质属性，要走进数学。但是我们更要研究的是儿童，因为我们的定位是儿童的数学老师，我们要把儿童带进数学世界，要让儿童在数学世界里得到成长性的成长，那我们就要懂儿童，研究他的心理发展规律，研究他的认知规律，所以在纵轴上我书写的是儿童，如何把儿童和数学教育有机地结合，我们看到第三个轴从顶点伸出来了是教育，教育是一个复杂的系统工程，教育的最重要的人物是教师，我们教师的理念、情怀、教师的能力、技术，都会对儿童产生深刻的影响。因此，作为教师要对儿童关爱、友善，让孩子们能够在数学世界中感受学习的魅力，学习的价值，学习的力量。“做心中有人的教育”，一定是我们必须坚守的儿童数学教育方向。

小学数学教学改革之路大概这么两条途径：一个是我们学科内部的一种整合，也就是我们一直强调的“深度学习”，我今天要围绕深度学习这个话题，谈一谈我们学习方式的改变；另外一个途径，就是“跨学科的融合”，就是我们怎样以数学学科作为一个基础学科跨出去与其他学科进行融合，让孩子们在一个真实的任务解决中，在主题式的学习中，来培养他们的综合的实践能力、创新意识。

强调“整合”是从我们学科内部来说的，“深度学习”提出了要单元学习主题的建立，“单元学习主题”就是要进行有机的整合。也就是要把零散的、碎片化的数学知识来建立起整体化、系统化、逻辑化的数学知识结构，建好这个“承重墙”。这个“承重墙”，当然包括核心知识，也依然包括关键能力，这些都是孩子们成长的“承重墙”。根据核心的知识共同拥有的这种本质属性和相同的逻辑关系，在深度学习理念下去确定好每个单元的学习主题，找准关键能力培育的这个发力点（就是我们要聚焦哪些核心素养进行培育），引发儿童的深度思考和主动探究，促进儿童思维进阶的发展，来逐步实现“深度学习”，这是从数学学科内部的“整合”。

我们也强调“融合”（外部），就是数学学科与其他学科的融合，我们要打破学科壁垒，站在“育人”的高度来进行教学，使我们的儿童不被单一的学科的知识体系所束缚，能够综合的运用知识来解决实际生活中的真问题。在教学中我们可以“任务驱动”，开展这种主题式或者项目式的学习，小学阶段更多的还是主题式的学习，到了初中、高中开展项目式的学习。开展这种跨学科综合实践活动，也就让我们的儿童能够经历一个完整的解决问题的过程。在这个过程当中，他们会不断的发现、提出问题，分析、解决问题，那在参与这种完整的解决问题过程中，他们还要学会与人合作，学会集体、小组来共同做好规划，实施规划和进行评价反思等等，那么这一系列的活动也就是从未来来适应社会发展的需要。

一、儿童“深度学习“的学习样态

“深度学习”是在教师指导下引领儿童，围绕着具有挑战性的学习主题，使儿童全身心的参与体验成功，获得发展的有意义的学习过程。

这里特别谈到了“教师指导下”教师的作用是什么，谈到了“挑战性的学习主题”，只有这样我们的孩子才能有思考的乐趣，探究的欲望，能够全身心的去体验，我也给小学的数学的深度学习画了这样一个像：

1.深度学习是一个触及儿童心灵的学习过程。在这样的学习过程中，我们能够看到孩子兴趣的萌发和他们学习的自信，他们会在这个过程当中获得一种积极的情感体验，对后续的学习还有期待。

2.深度学习是引发儿童一个主动参与的学习过程。不是被动的去接受，应当是儿童一个主动参与的学习过程，孩子能够自觉的想一些问题，有这种自主的意识。

3.深度学习是引发儿童持之以恒的追问和不断的思考的学习过程。他会在一个“问题链”中不断的来产生新的思考。

4.深度学习是一个理解性的学习过程。就是要把握住核心概念去理解数学的本质，能够用这种联系的观点去分析所学的学习内容。

5.深度学习是单元学习主题的建构式的学习过程。通过单元学习主题的建构，来建好核心知识、关键能力的“承重墙”，同时沟通知识的关联，打通“隔断墙”来促进他们的深度的理解。

6.深度学习是跨学科综合实践的学习过程。以数学为出发点，将数学与其他学科进行融合，能够在一个真实的问题解决中不断地去探索、实践来获得发展，来提高孩子们的应用意识和创新意识。

二、把握整体结构，促进深度学习。——“数与运算”主题教学

“深度学习”要“全身心的参与”，“要有挑战性的问题”，要“有主题式的教学的建构”的过程，那么我们就要整体地建立知识结构，来促进学生对问题深入的理解。下面以“数与运算”这个主题教学来和大家做一点交流。

1.沟通不同数域之间的联系，感悟数本质的一致性。

我们都知道数学是有联系的，数学是有结构的，数学知识是系统的，那么这些繁杂的知识中一定会有一些核心的概念，统领着其他的一些小的知识点和概念。我们能不能抓住关键问题，举一反三，触类旁通，纲举目张，通过对整个结构的建立，理解他们之间的这种关系？怎么去沟通不同数域之间的联系，感悟数本质的一致性呢？

先说一说数。小学阶段整数、小数、分数，不同的数域（或数集）所涉及的概念比较集中，像十进制、计数单位、数位、位值，能不能从不同的数域找到共同的数的本质意义呢？也就是说你不能小数只讲小数的理，整数只讲整数的理，分数讲分数的理，数本身它是具有一致性的：数是对数量的抽象，数也是对计数单位多少的表达，这是他们的共性。

我们来看看整数、小数、分数：

324表示的是什么？在孩子们学到324的时候，在他的头脑中马上能反应100×3、2x10、×4，把这三个积合起来才是324的意义；那3.24呢？道理亦然，3个一，2个0.1，4个0.01之和。我们把个，十，百，千⋯，0.1，0.01，1/10 ，1/100⋯等统称为计数单位，比如说3/4，1/4就是3/4的单位，它是3个1/4之和，所以说整数、小数、分数都是对数量的抽象，也是对计数单位多少的这样一个表达。

我们来看小数，不管哪个版本的教材在“小数的意义”这个单元里，大致都涉及了六方面的内容，也就是6个知识点，我做了一个简单的梳理。

那么这六个知识点能不能成为一个单元学习主题呢？如果能够成为一个单元学习主题，又是怎样的核心概念和关键能力统领小数整个单元的学习呢？这六个知识点有没有更重要的核心概念呢？如果有，它一定是小数的意义。那小数的意义是什么？

大家都很熟悉，分母是10、100、1000等的分数可以用小数来表示，小数的计数单位是0.1，0.01 ，0.001等，它也是一个十进制。小数是怎么产生的呢？我们上课的时候老师会举很多生活中的案例，也会改变学习方式，让孩子们自己动手操作来体会小数产生的过程，不断的对单位进行细化，不断的产生新小数。当然我们还可以再开一个口，反过来还可以从单位的累加来理解小数的意义。小数的读写法、小数点的移动、小数的性质和大小的比较、小数与单位的换算，他们都与计数单位有关系。

我们怎么让学生去体会小数的产生，感受到小数学习的需要，又通过对小数的深入的理解来感受小数的本质意义呢？教学中有的老师用了这样的案例，你能说说小明的身高吗？1米不到怎么办呢？我们怎么样来表达他的准确的身高？看来用这个单位来测量这个小朋友不大合适了，因此要把它细化成10个小一点的单位，一个单位占整个一米的1/10，就是1/10米，也就是0.1米，以此类推。在这个过程中，孩子们体会着十进制，也体会了单位的细化。

我们再继续看小朋友长高了，现在10等份不能够精确的表达他的身高，怎么办？又把它继续分，分成了100等份，在不断的细化单位的过程当中引发孩子们不断的思考。

当然我们还可以让孩子们自己分一分，改变学习方式就是我们的课堂要让孩子活动起来，在动手活动中不断的去分、去思考、去讨论，去真正地体验不断的细分单位的过程。

再如，在除法的计算中，1÷2不能用整数表示了，也会用小数来表示。教学中老师们常常用不同的方式，把这个1分成10等份、分成100等份、分成1000等份，还可以继续分下去；反过来看，扩大10倍变成一个0.01，0.01扩大10倍变成一个0.1 ；0.1扩大10倍变成了1，1再扩大10倍就变成了10，相邻的两个计数单位间的进率是10。通过这种直观的图让孩子体会数与数之间，单位与单位之间的关系，那么它的背后是什么呢？不就是对单位的细化吗？细化成10等份、100等份、1000等份、10000等份。

我们学习的一位小数，两位小数等，一定在这一群数中有最重要的数与众不同，0.1、0.01 、0.001⋯等就是这一群数中的一个“特殊人物”。如，0.6就是由6个0.1组成的，0.66就是由66个0.01组成的。当0.66、0.999出现的时候，我们该不该停下来让学生进行交流和讨论呢？两个6和三个9长得都一样，那他们表示的意义一样吗？让学生从位值、计数单位的意义来深入的理解数的本质。

再如，1很重要，它是整个自然数的计数单位，一而十，十而百，十倍十倍的去翻倍。在这个过程当中无穷无尽，世界上只有10个数字，却可以通过十进制演绎成无穷无尽的数，今天又为学生打开了一扇窗：从整数到小数依然是对“十进制”这个核心概念的再理解，把1分成10等份又有了0.1，以此类推，0.01 、0.001等等没有尽头，这是怎样的一个数列？

那么，在老师们的脑子里是不是应该有1不断的累加，不断的细分，把数进行不断的延展，无限的延展的过程？整数、小数都是十进制，浑然一体。这样的学习主题抓住了核心的要素——“十进制、计数单位”。

让孩子们能够围绕着不同的内容，多层次、多角度的进行探究，加深对数本质的理解；而在这个过程当中，让学生自己动手操作，让学生多活动，画一画、分一分，当然也离不开学生的观察，老师启发式地讲解，从而建好这个知识结构的“承重墙”，沟通不同的内容之间的内在联系，来打通小数和整数之间的这个“隔断墙”。

2.以“加法”为核心，感悟运算本质的一致性。   

 

刚才我讲的是数本质的一致性，那我们来看看运算本质的一致性。

以“加法”为核心，在数的运算当中，我们老师不能只是按照一个知识点一个知识点的去教，孩子按照一个知识点一个知识点的去学，这样的教学会把这些零散的、碎片化的知识点存在儿童头脑中，它没有结构、没有系统、没有逻辑，会导致什么问题呢？这些碎片化的知识不成系统、凌乱的在孩子们的脑子中，当他在陌生的新情境下要解决问题的时候，不能很快的产生关联，不能快速的提取脑子中的主要知识、概念去解决问题，所以孩子心中加是加，减是减，乘是乘，除是除。

马芯兰教授曾经对整个加、减、乘、除的运算做了有益的尝试，她提出以“和”的概念统领整个运算过程，马芯兰教学法也获得了国家级教学成果一等奖，前辈们的这些好的经验是值得我们很好的分享和学习。那么，我们在数与运算的教学中，如何促进有效的理解和迁移呢？如何改变原有的教学方式、学习方式来帮助学生进行深度的思考呢？

马芯兰教授在讲加、减、乘、除意义的时候就提出来了，我们不仅仅要知道加、减、乘、除分别的意义是什么，还要把它们建立联系。我们的孩子现在能够列式：“2只小鸭子在河里游，又游来了3只，一共是5只”，能理解加法的意义是什么，这是他一个现实水平。但是我们希望能够把加、减、乘、除的关系帮助学生讲清楚，让学生感悟到他们之间的关联。在感悟关联的时候，我们一切运算又可以从“加法”推演。马芯兰教授就讲到了以“加法”为核心，推出了减法，因为减法就是加法的逆运算；又引出了乘法，因为乘法就是加法的简便运算；那么除法呢？除法它是乘法的逆运算，做除法的过程也在做的是什么？做的就是减法。我们所期待的水平是不仅仅要建好加、减、乘、除的“承重墙”，更希望能够打通加、减、乘、除之间的关系，让这个承重墙更有力。

数学是有逻辑的，我们今天所说的改变学习方式，就是要把老师教的逻辑改变成学的逻辑，也就是说，多给孩子一些机会。比如，我们入学不久的儿童将要学习简单的加法“7 3”，我们可以在这个数线模型上让学生自己动手去数一数，一个一个的单位的往上加；“7-2”呢，一个一个单位的往回减。一个一个的向前数，这不就是“1”这个单位的不断的累加过程吗？一个一个的往回数，也是这个单位不断的往回减的过程。那么乘法呢？“4×3”不就是一群一群的往前数吗？4个1为一群。那么反过去除法呢？18÷5是5个5个的往回减，最后剩了3。在这个数线模型上，我们看到了加法和减法的“互逆”的关系，乘法和除法呢，依然有这样的“逆运算”的关系。

像这些能不能让孩子自己体验体验呢？让孩子讲“7 3”的故事、“7-2”的故事、“4×3”的故事、“18÷5”的故事，在故事中去理解到加、减、乘、除之间重要的关系，以“加法”为核心，引发出加、减、乘、除之间的关系。有了这种单元学习主题，你的教学方法就要不断的改变，我觉得应当给学生一些探索的空间，让学生不仅仅分别清楚他们的本质意义，更要打通这个隔断墙，知道他们的逆运算的关系，知道他们之间的重要的关联，这样的学习可以让学生深刻的理解他们的本质意义。

谈到关系，我们来看。加法模型：部分 部分=整体；乘法模型：每份数x份数=总数。当然在乘法模型里，我们现在主要讲的是单价，数量和总价这个模型，还有速度、时间和路程这个模型。有了这样的一个基本的框架，你再带领孩子们不断探索：若干个不同的部分合成一个整体，从整体减去一部分不就等于另一部分吗？若干个相同的部分也可以走向整体，就是一群一群地往上累加，有了乘法；往回走，又有了除法。过去我们讲的11种简单类型的应用题，实际上是我们今天作为数量关系的一个主题，我们不是在题型上的训练，而是让学生能够有这样的结构：从“和”出发，把这一组组的关系，通过让孩子们在解决真实的问题当中把它总结出来，在这个过程当中理解数量之间的关系，以核心概念形成一个比较完整的数学知识体系，建立一种结构化的数学思维，这样对学生未来的数学发展很重要。这个过程其实就是一个儿童“结构化的思维”的培养过程。

学生学习方法怎么去改变，老师设计一些问题，也让学生提出一些问题，比如说让他们产生一些问题之后进行辩论、反思，来明确数学的本质，来理解体会运算本质具有一致性的，他们之间是有关联的，从而培养孩子一种推理能力、运算能力、创新能力等。

再看整数加减法，小数加减法，分数加减法，我们在做竖式的时候，形式是不一样的，整数强调“末尾对齐”，小数强调“小数点对齐”，分数强调要先“通分”，它们有共同的本质特征吗？

它们的运算本质是一致的，都是要找到相同的单位进行累加。那么找到了相同的单位进行加或者减，就要让学生去理解他们的关系。正确的理解运算之间的关系，是学习四则运算的重要基础，同时更是以数量关系这样的主题来进行解决问题的重要的依据。

我们再看，整数乘除法、小数乘除法、分数乘除法之间有关联吗？改变学习方式，就要让学生在这样的学习主题当中获得结构化的思维，能够整体的去看这些零散的、碎片化的知识。我们来看看这个例子：

不管是整数、小数、还是分数，他们都与计数单位有关。整数除法中9个10平均分成4份，每份是两个10，那么剩下一个10怎么办？得不到整十了，就把它细化成10个一继续分呀。但是在整数的除法学习中，我们就到这儿止住了。有经验的老师会在这里再开一扇窗：不知道未来的学习中，我们能不能对这个“1”继续分呢？拓展到后续学习的联系，就到了小数除法了。大家看一看小数除法中“17-16”余的这个1怎么办？化成了10个0.1，继续分；分4个0.2后还余下2个0.1，又继续分。整数除法和小数除法道理完全是一样的，本质特征都是“十进制”，都是把单位不断的在进行等分，当得不到整个的这样多少个单位的时候，我们就细化成下一个等份继续分。分数除法也依然，举一个最简单的例子，1/2÷3，不就是求它的1/3吗？我们看看1/2的1/3，让学生自己动手画一画，通过画图、折纸，让他们进行讨论、质疑，得到的是多少呢？是1/6，把1/2张长方形纸平均分成3份，每份就是这张长方形纸的1/6。

从最简单的除法开始都与计数单位是有关系的，特别是整数除法和小数除法“十进制”之间的这样一种关系。在小数意义中我们对“数位”、“位值”、“计数单位”这些核心概念的深入理解。如果在当时，有些同学对小数的意义理解还不够，程度上还不够深入，那么你在讲小数加减法的时候，再等一等这些小朋友，让他们在这里再一次理解小数的意义，知道数意义和数运算是相辅相成，相互依赖的，打通数与运算之间的“隔断墙”，建好数意义与数运算的“承重墙”。

整数、小数、分数具体的竖式的计算形式不完全一样，本质也是一样的，也都是要调相同的单位上的那个数去相加或相减，同时我们看到运算与小数意义、整数意义也是有关联的，整数除法和小数除法是有关联的，运算和解决问题又是有关联的，这一个个核心知识，通过他们的核心的概念组建成了知识群、知识团，构建了一个完整的知识网，这样的学习有助于孩子们的理解。

我们有了这些观点之后，我们就要有这种单元学习主题建构的教学方式，让孩子们在这种方式当中获得思考和学习。有了这种整体的把握，学生获得的知识不是散点，而是有联系的知识网。

建立了这样的知识的结构，能够以单元学习主题的视角去思考儿童的学习，它是围绕着核心概念、关键能力组建成了知识团、知识群的探索的过程，它的知识的整体结构是相互融通的，所以我们经常说举一反三，触类旁通，纲举目张就是这个道理。这样的学习能够更长久地帮助学生记忆信息，还可以更深入的理解数学概念，更有效的解决问题。

因为他头脑中的概念是有序的排列，在面对陌生问题的时候，他可以有序地提取数学知识的概念而进行快速的进行问题解决。通过这样的学习，不断的促进孩子们的理解性的学习、结构性思维的培养，这种结构彰显了数学知识的丰富的联系。

三、重视深度理解，促进融会贯通。

学习方式的改变，如果我们还是老师讲、学生听，一个知识点的这样去讲完，学生不可能融会贯通。

以“统计与概率”为例：“统计与概率”是小学数学学习的学习领域之一，我认为它属于核心知识，尤其是在大数据的时代，统计与概率的学习价值更加凸显出来。主要内容无非是这几种：分类、统计图表，统计量，概率，过去只是把平均数作为统计量，现在通过和专家们的讨论，这些专家们站在数学本质的角度，把百分数也是作为一个重要的统计量。

数据的收集、整理和表达包括了这么多的内容，要干什么？就是要让学生去感受现实生活中存在着大量的数据，其中蕴含着很有价值的信息，我们能不能有效的提取，知道这些统计图表、统计量都是可以呈现和刻画这些信息的重要的数据，来形成数据的意识。如果我们还是坐在那里出一个统计图，怎么画，怎么做，做的很精致，甚至老师讲学生就在那儿不断的各种各样的涂出来，这是不行的。

我们必须要改变学习方式，让孩子们真正的去做一些调研，要想发展孩子的数据意识，这个过程是漫长的，我们不指着一节课或者几节课把整个统计的教学完成，那是不可能的。收集数据你不改变学习方式行吗？这些数据不是老师拿来放在黑板上我们分析分析就得了，许多的事情是需要孩子们自己在生活中去完成的，需要解决什么问题，他们自己要找到真实的任务情境，找到这个真实的任务，然后根据这个任务来设计解决问题的方案和规划，在规划中他们必须要亲自调查研究、收集数据、整理数据，在整理的过程当中来对数据产生新的认识，这些老师和家长都是不能替代的。比如说数据，在分析数据的时候，它的趋势、关系、预测、推断及如何进行问题解决，都是需要孩子们在真实情境中去体验的。所以统计与概率，我们不能仅仅是在课堂上一块黑板、一只粉笔，甚至加几个演示文稿就解决的问题，改变学习方式，就是要让孩子们在真实的任务当中去经历一个收集、整理数据的真实的过程，来培养学生的综合能力。

在这里我重点讲我们怎么进行“平均数”和“百分数”的教学。

平均数的教学：

对平均数的教学，我们要多维一点的理解。孩子们说平均数就是除法，不对吗？平均数的本质是除法呀，我们把一个一个的数整合在一起，然后去除以相对应的份数，它就是除法。平均数的本质具有代表性，它是一种集中趋势的刻画；平均数具有取值范围，它会在最大值和最小值之间；平均数容易受极值的影响，具有敏感性；平均数还可以通过小样本来推测大样本，像这些平均数丰富的意义，具有统计价值的统计量。我们怎么让孩子在学习中得到感悟呢？

比如说学生学习平均数的产生，小组比赛跳绳也好，拍球也好，哪个组水平高？人数不一样了，还用总数来进行比较显然不合适，因此有了平均数。再如平均数具有代表性，第1组2号同学，他跳了92个，平均也是92，这两个92一样吗？这个问题孩子挺扎心的，明明都是92，为什么它代表的意义不一样呢？

我们就是通过这样让他去感受平均数具有代表性，一个是代表个人的，一个是代表整体的（这个小组的），是多的少的均匀之后得到的，虽然都是92分，它的意义是不同的。我们再通过对平均数的分析来感受它的趋中性（就是它是一种集中趋势的表达刻画），它在最大和最小值之间。如，这个92，一定有人跳的比92多，也有的低于92，是均匀以后得到了它。

怎么去感受平均数也具有这样一种随机性呢？比如说，把第2组再增加一位同学，这时候的平均成绩会不会一定比第1组的平均成绩高呢？这个数是随机性的，如果他跳的很多，平均数也可以继续提升，如果他跳的比较少，平均数就会降下来。

再如平均数的统计意义。在今年的2021年1月18日的《人民日报》报道了这样一个事件，就是“300颗星的故事”，把300颗星做一个分段统计的时候，我们清晰的发现第3个100颗星只用了3年的时间，那平均一年就能发射30多颗星，把这三个平均数再进行比较分析的时候，我们可以更加直观的理解到数据的变化趋势与程度，来感悟我国航天事业的加速发展。

通过分段的平均数和把50年发射的300颗星求个平均数，这个意义价值的比较进一步感受到平均数的统计意义。

决定平均数值大小的是两个因素：总数量和总份数，当总数量和总份数不相同的时候，我们不能只看其中的一个因素。如，中国的淡水资源是全世界的第4位，但是一到人均水资源，我们一下子跑到了121位，什么是人均水资源？怎么去体会这个平均数的意义呢？我想都可以让孩子们通过阅读资料来理解。

百分数的教学：

大家知道生活中的百分数，包括税率、利率等等，原有的百分数意义我们保留，这里我重点讲百分数的统计意义。

百分数是对随机现象刻画和表达，怎么让学生去理解？

我举这样一个案例：1号2号两位同学套圈，谁套圈的水平高？我们要经过比一比，我们只给出套中的次数，你是9，我是5，无法比。我们再给出套圈的总次数，有了它就可以通过通分去比较出他们谁套圈的套中率高。这个过程通过通分来找到统一的标准，从无法比较到寻求新的数量（套圈总次数）找到他们之间的关系进行比较。

再给出一些数据（3号、4号），现在你还能统一到分母是20进行比较吗？

  显然不合适，那这一次又进行了通分，又找到了比较的办法，通过自主尝试，感受到单位统一的重要，不断的去讨论，最终找到这个百分数（以分母100）来作为一个标准更合适。现在他们已经有了一个基本的排位，如果这4人再重新组织一次这样的套圈比赛，名次会有变化吗？你能继续来关注他们的比赛结果吗？体会百分数是对随机现象刻画的过程。

在百分数的学习过程中，我们还可以像降水概率、手机的充电量等生活中多个这样的实例来体会百分数这4个重要的节点对判断事物的决策作用，这些都可以在生活中去体验、去感受。

另外，我们还可以通过设计学生参与的实践活动，比如说二年级学生定踢键子标准，怎么就达标呢？

100个人也好，200个人也好，让他们自己去收集数据，自己去实践，然后看一看多数的人能达到一个什么水平来定好这个标准，如果75%左右的人都能达到一定数量的标准，那可不可以把这个数量作为二年级学生踢键子的一个基本标准呢？那25%没达到，我想他通过努力也是可以达到的。就是通过来制定一些标准，通过这样的小样本来推算来推测这些大样本，体现百分数的统计价值，

百分数是数量之间的倍比关系的。今天我们从统计意义这个角度来说，就是从统计量、统计价值的思考，它能够体现对随机数据之间的关系。最典型的是GDP，GDP的年增长是随机的，对于一个国家增长情况的判断，不能只用一个简单的数量来进行表达，因为每个国家的体量大小不一样，它就要找到它们之间的重要的比的关系，那么百分数在这里发挥了重要的作用，它可以有一个这样的标准，这样的一把尺子来进行比较。

改变学习方式，促进孩子们的深度学习，在“统计”教学当中我们需要学生做一些真实的调研，需要他们对数据进行分析整理；在“数与代数”的学习当中，他们可以让他们自己亲自画一画，来做一些小组的合作学习、对话交流，通过这种学习方式的改变，让他们能够对数学的本质理解；通过在挑战性的学习活动中，让他们不断的发现、提出问题并进而积极的解决问题，在这个过程中去感受数学的魅力，数学的价值，数学的力量，那么从而唤起学生学习的兴趣、信心和积极的情感体验，让他们对未来的学习更有期待，从而更加热爱数学学习，不断的实现每个孩子自身的成长性的成长。

感谢： 

中国教育学会小学数学教学专业委员会

人民教育出版社

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