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1.苏格拉底助产士教学方法，其实不在阐述自己的看法，而是表达出听众的思想，类似于思想实验教学法。再创造所教的东西。 2.跳伞者方法，逻辑的体系内由规定定义到证明定理，从天而降。 3.再创造的方法，并非完全再现知识发现的真实路径，而是有人已知这些知识后如何引导学生去发现，犹如看得见的人告诉盲人如何去创造和发现。这种发生的方法，不是逻辑概念，不是历史概念，也不是心理学概念。 4.苏格拉底认为，人类无法实际创造真实的知识，教学过程只是帮助学生回忆起他已经忘记的知识，这些知识是在人类生存之前就已经存在于其灵魂之中了。 昱见：好有宗教意味的苏氏认知！原来他是先验论者，我不是。但我赞同弗赖登塔尔从苏氏认知里提取其精华，发展成“再创造”的一套新认知。当然，这些冠名苏格拉底的认知不一定是历史真实，说不定就是柏拉图的说辞。管他呢，名称不重要，落款也不重要。 5.波利亚的书中叙述了老波利亚怎么引导小波利亚再创造数学。 6.我们不能只给学生一个结果和一个体系，而要给出到达的道路。 第六章 再创造 1.夸美纽斯教育学著作之丰富空前绝后！ 2.从苏格拉底到夸美纽斯，实现了一种跨越，不再囿于语言吸收的学习。 3.夸美纽斯教学方法的三个阶段：例子，规则和模仿。教一个活动最好的方法是演示，学一个活动最好的方法是做。前者是夸美纽斯的意见，后者是弗赖登塔尔的意见，实现了从教师活动转向学生活动，由感觉效应转向运动效应。 4.夸美纽斯之后，教育的重点愈来愈从教师活动转向学生活动，教师的权威和垄断已不复存在。 5.想和做人为分割，欧式原本就分成证明和作图两部分，而在作图之前加上了理论的分析，以使作图不至于沦为“没有理论的实践”。而，思想实验到底是想还是做？ 6.从现成的数学到做出来的数学。学校的数学并不是真正的数学。面对现成的数学，学生只能复制，再用应用来补充。 7.将数学作为活动来分析，只有波利亚做过少量，皮亚杰的研究不足以说是研究数学学习，而更应该归为研究语言理解或较复杂问题解决。 8.数学教学强调学生经历“数学化”过程，既是经历这样的知识发生过程，也是保持纯数学与应用数学之间的联系。在这个过程中，学生学习创造几何，创造定义，创造数学。 9.弗赖登塔尔重视和较多赞同的范·希尔夫妇的几何教学研究得出，几何学习过程有不同的层次。 10.发现法有天生局限性。在最底层次的活动是为数学做准备的，而并非真正的数学，只有到达更高层次的学生才能理解低层次活动的意义。反思是层次升级的重要途径。 第七章 用数学化方法组织一个领域 1.数学教学应注重数学的整体结构，并联系现实应用。 2.数学化的提法，有情境数学化，有问题解决，其实问题应该来自情境，所以我们归入第一种提法。 3.综合的科学教育VS各学科的配合教育，数学或别的学科学习常受到体系的限制，表现在教学中则是受到课时、教学内容编排顺序的限制。 4.数学化的数学学习一直强调数学与外界的结合，一开始是数学与儿童现实生活的结合，等到儿童进入自然科学世界，数学又与各自然科学相结合。 5.对一般人而言，很多数学学习仿佛就是为了忘记，一生中除了暂时的学习时期用极少次外将再也不会使用并遗忘。 第八章 数学的严谨性 1.以下是庞加莱大咖的言论，严谨的数学常常展现的是结果，而省略了过程，这表明逻辑与证明的不充分和非全部，所以他建议以直观来作补充和矫正。让我们记住它，直观，逻辑的对立面。  2.数学总是对错显性是非分明的，这就是数学的严谨性。严谨性具有层次。 昱见：数学严谨性具有层次这一点非常有意义，它是我们教师需要充分认识的。这条原则指引我们在不同的学段不同的年级或处于不同发展阶段的儿童中间采用不同的教学方式，制订不同的教学目标。比如，我们不会在二年级儿童的课堂上给出线段的几何学定义，而仅仅要求他们通过探索获得“线段是直直的一段线，可以量出长度”之类，这时候这种认识我们认为是二年级的严谨。 3.操练与教育是不同的，教育的重要特点是自由。 4.现成的数学的逻辑，与做出来的数学的逻辑，两者在严谨性上是不同的，逻辑上也不尽相同。前者已经形成严密的体系，而后者尽管也是数学，却鲜有论及。 5.数学与现实的联系与分离。
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