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仿射坐标系,会用吗?

 jingruiqiang 2021-09-16

坐标系,我们并不陌生,我们从初中开始就接触坐标系,利用坐标解析的方法解决数学问题,实际上,我们所熟悉的坐标系是笛卡尔直角坐标系,在平面中,我们通常是利用这一坐标系,用代数的方法研究几何学的问题。我们之所以选择笛卡尔直角坐标系,是因为用坐标表示距离表达式最简单,进而我们通过笛卡尔直角坐标来研究图形的一切度量及性质。但实际上在操作过程中,笛卡尔直角坐标系由于本身的局限性,譬如说坐标轴垂直以及坐标轴的单位长度相等,在解决问题的时候会受到多方面的限制。



今天我们来介绍另一种坐标系:

平面仿射坐标系的两轴上,长度单位一般不同,如果相同就是斜坐标系。两轴夹角可以为任意角,若是夹角等于直角,且两轴上的长度单位相同,则为笛卡尔平面直角坐标系。

接下来,我们研究使用仿射坐标系可以适用于解析几何学中的哪些问题?

我们知道向量是连接代数和几何的桥梁,我们先来判断在放射坐标系下,向量的诸多性质的坐标表示形式。

也就是说,在仿射坐标系下直线的方程同样有两点式,进而转化为一般式,而且在解决等分点的问题时可以选择仿射坐标。

结论三、用直角坐标和用仿射坐标表法直线的相交或者平行的条件一致,所以我们可以通过仿射坐标解决有关点共线、线共点以及平行的问题。(证明从略)

结论四、可以通过仿射坐标系解决两三角形的面积比,或者任意两封闭图形的面积比。(证明从略)

实际上仿射几何是建立在平行射影的基础上,所以仿射坐标系可以解决完全由点线结合关系、同一直线上两线段比、平行性、两封闭图形的面积的比所构成的几何命题。

接下来,我们用仿射坐标系来解决几道例题,来说明:

坐标法是数学方法中最重要的方法之一,解析几何的核心思想是“坐标法”,坐标法就是数形结合思想的体现,而由几何问题转化成的代数问题是否简单、便于处理,则依赖于坐标系的选取是否合理,以上几道例题就是总过建立仿射坐标系,使几何问题解析化,体现了一定的间接性、优越性。

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