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大家玩过抓娃娃的游戏就会知道，每次抓娃娃只会有两种可能：一种可能是成功抓到娃娃，另一种可能是抓不到娃娃。如果将“成功抓到娃娃”的概率设为P，那么“抓不到娃娃”的概率就是1-P。我们刚才进行的这种只有两种可能结果的游戏试验可以称作“伯努利试验”，试验的结果则满足“伯努利分布”。 一、伯努利分布 伯努利分布的定义：  那么，如果我重复抓娃娃100次（n重伯努利分布试验），在这100次游戏中，我一次都没有抓到的概率是多大？只抓到1次的概率是多大？抓到2次，3次，4次，……，n次的概率是多大呢？ 我将每种成功次数可能出现的概率都计算出来，得到的概率密度图服从“二项分布”。 二、二项分布 二项分布的定义：  二项分布的性质： ①当n和p值固定时，𝑏(𝑘;𝑛, 𝑝)先随𝑘增加而增大，达到某一极大值后又逐渐下降。 二项分布的这一性质其实很容易理解，以我抓娃娃为例，我抓了100次娃娃，一次没抓到或次次都能抓到的可能性都是极小的，但会有一次最大可能成功次数，也就是二项分布的极大值。 ②若将m称为最有可能的成功次数，通常𝑚 = [(𝑛 + 1)𝑝]，若(𝑛 + 1)𝑝为整数时，则𝑚− 1也为最可能成功次数。 假设我抓娃娃成功的概率是0.1，在上述进行的100次抓娃娃试验中，m = (100+1)*0.1 = 10.1 ≈ 10。即，我玩100次抓娃娃游戏，最大可能的成功次数是10次。 ③固定𝑛时，𝑝越与1/2接近时，分布越接近对称。 从下图模拟实验得到的二项分布图进一步印证了这一性质：  上图中，在固定n时(n=20)，当p=0.1，二项分布呈右偏；当p=0.5，二项分布呈正态分布趋势；当p=0.9，二项分布呈左偏。 案例： 在抓娃娃游戏中，我们已经知道了成功抓到娃娃的概率p为0.1，试验次数n为100，最可能抓取成功的次数m是10，那么，根据二项分布计算公式，我们可以知道成功抓取10次娃娃的相应概率：  在Excel中，可以通过如下函数进行计算 =BINOMDIST(10,100,0.1,FALSE)=0.131865 即，玩抓娃娃游戏100次，成功抓到10次娃娃的概率约是0.132。 三、泊松分布 泊松分布的定义： 泊松分布是二项分布的极限分布，当𝑛比较大，𝑝比较小（𝑝≤ 0.1）时，二项分布就可近似地看成是参数𝜆 = 𝑛𝑝的泊松分布：  若随机变量𝑋可取一切非负整数值，且相应的概率分布为:  其中𝜆 > 0，则称𝑋服从泊松分布，简记作𝑋∼𝑃(𝜆)。若把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件，泊松分布可用来描述一定时间内稀有事件出现的次数。参数𝜆含义：一定时间内稀有事件发生的平均次数。 假如商家为了赚取更大的利润，而对娃娃机做了手脚，导致抓到娃娃成为稀有事件，成功抓到娃娃的可能性概率仅为0.0001。 如果我重复抓10000次娃娃，那么𝜆=𝑛𝑝=0.0001*10000=1，抓到娃娃的最大成功次数𝑚 = (𝑛 + 1)𝑝 = np+p≈1。即，我玩10000次抓娃娃游戏，最大可能的结果是：仅抓到1次娃娃。 在概率p值不变的情况下，不断增加试验次数，可以以此增加稀有事件发生的次数（𝜆）。下图展示的就是𝜆取值不同时，泊松分布的概率密度和累计概率。  泊松分布能够用来分析生活中很多的随机现象。比如： 单位时间内洪水等事故发生的次数； 矿井在某段时间发生事故的次数； 单位时间内市级医院急诊病人数； 一本书中每页印刷错误的个数。 案例： 波特凯维茨(Bortkiewicz) 在《小数法则》一书里举了这么一个例子：从1875到1894年的20年间，德军的十四个军团有士兵被马踢伤致死的人数纪录，每年每个军团记录一次，总计有20×14=280条记录，按照每条记录中的死亡人数进行统计，得到了如下的表格。  这280个记录中，共有196人死亡，死亡率是 0.7，根据这一数据，波特凯维茨用泊松分布计算得出结果，可以看到泊松分布得出的结果和现实出奇地吻合。 这也再一次向大家印证了，统计学是一门理论联系实际，客观反映世界，非常具有实践性的学科。  这篇推文中，我用尽可能贴近简洁的案例和语言向大家介绍了伯努利分布、二项分布和泊松分布，大家对它们是否多了一点认识呢。 本篇推文中的内容节选自松鼠的统计学课程《妙趣横生的统计学》第13章。松鼠用一个章节的时间向大家介绍了两种类型的随机变量，以及离散型随机分布中的伯努利分布、二项分布、泊松分布；还有连续型随机分布的正态分布、均匀分布和指数分布。想要了解更多的小伙伴可以扫描下方二维码，或点击文末的阅读原文，和我一起每天学点统计学。 《妙趣横生的统计学》 |
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