【原】目前高等数学的三角函数值微积分公式是错误的

第一节    三角函数前后的定义、对应法则不能不一致

角度的定义：两条相交直线之间的夹角就是角度。一个圆周角定义为360⁰，角度值范围为0~360，量纲为度（⁰），规定圆心角的周期为360⁰，角度值就可以推广到任意值。

弧度的定义：弧度=弧长/半径，一个圆周的弧度是2，弧度值范围为0~2（为圆周率），量纲为弧度，规定弧度的周期为2弧度，弧度值就可以推广到任意值。

设圆的半径为r，表达同一圆心角的角度值为x、弧度值为h，圆心角所对应的弧长为l，则存在同圆、同圆心角、同弧长的关系，即l=hr=r，h=*x，即同一圆心角或同角的角度值和弧度值之间存在一个固定比例：弧度值=*角度值。

三角函数的定义：直角三角形的锐角值与其边长比之间的映射或对应法则，其自变量的定义域为角度值，量纲为角度。在锐角的极限值定义为三角函数的特殊值后，三角函数就适用任意角。

特别指出：任意函数y=f（x），函数y值都是自变量x值的某一种对应法则或映射或公式f，这里x、y都是实数，用平面直角坐标系表达就在x轴、y轴上，x轴、y轴可以表达不同物理量纲值。一个具体的函数有对应法则、值域、定义域、物理量纲值，它们之间存在固定关系或规律，将不可改变。

设变量x为角度值，其对应弧度值为h，三角函数为sjhs（x），因角度值和弧度值之间存在一个固定比例，则存在关系式：h=，其中π为圆周率。由于目前初等教育在数学课本上已定义了三角函数y=sjhs（x），因此高等教育在数学教材上就不能再直接定义三角函数y=sjhs（h），而仅有且唯一存在y=sjhs（*h），即三角函数已定义直接使用角度值而不能再直接使用弧度值，三角函数如果要使用弧度值，也必须要先把弧度值转换为角度值后才能使用，即弧度变量只能是复合型的，而不能再直接被三角函数使用，例如函数y=sin（x），其中x只能直接使用角度值，而不能直接使用弧度值，要使用弧度值，也只能这样使用y=sin（*h），也可以写成一般形式：y=sin（*x），其中x为弧度值，x轴是弧度数轴。即一个具体的三角函数有对应法则、值域、定义域、物理量纲，它们之间存在固定关系或规律，将不可改变。由此可见，目前高等教育的三角函数定义就否定了初等教育的三角函数定义，其前后定义、对应法则将产生自相矛盾逻辑，这是任何语言文字都不允许发生的事情，因此高等教育的三角函数定义是非法定义，必须坚决、立即废除。

第二节    证明极限定理

极限定理：=（x为角度值）

设O为圆心，OA、OB为半径r，

AB为圆的弦，E为圆弧AB的中点，

CD为过E点的切线，交OA、OB与C、D，<AOB=x，显然

∆AOB的面积<扇形AOB的面积<∆COD的面积

即<π<

利用<π得：

 < ，取极限得：

   ……（1）

利用π< 得：

 > ，两边取极限得：

 ≥ ，令t=，则

≥，换成一般写法亦有：

≥    ……（2）

由（1）、（2）及两面夹定理可得：

=（x为角度值）  ……（3）

极限定理得证。

在（3）式中令x=h，h为弧度值，则

=，

即=（h为弧度值）  ……（4）

目前在高等数学中，

 = =  （这里特别说明三角函数不能直接用弧度值计算，只能直接使用角度值计算），

  =  （h为弧度值），写成一般形式：

   =  （x为弧度值） ……（5）

因此高等数学的三角函数写法、微积分公式都是错误的，

导数（sinx）’ ≠ cos（x），（cosx）’ ≠ -sinx,这里x为角度值。

由（3）可得导数公式：

（sinx）’ = cos（x）（x为角度值）    ……（6）

（cosx）’ = sin（x）（x为角度值）   ……（7）

在（6）、（7）中令x=h，h为弧度值，则

（sin（））’ = cos（）（h为弧度值）

（cos）’ = sin（）（h为弧度值）

写成一般形式：

（sin（））’ = cos（）（x为弧度值）      ……（8）

（cos）’ = sin（）（x为弧度值）……（9）

（3）~（9）式都是三角函数微积分的基本公式，目前高等数学的三角函数微积分公式将被取代或修改。

第三节  证明目前高等教育数学的三角函数微积分公式是错误的

假设y=cosx，x轴为角度数轴，在区间（0,90）上的定积分为：

sinx│₀⁹⁰=≈57.3，而不是1，目前在高等数学上，没有给出三角函数角度定积分的计算方法。由于三角函数只能直接使用角度值进行运算，而不能直接使用弧度值进行运算，三角函数必须使用角度值进行微积分运算，这是微积分理论存在的不完善部分，因此微积分理论，必须增加三角函数的角度微积分公式。

又假设y=cosx，x轴为弧度数轴，在区间（0，）上的定积分为目前高等数学上的计算方法为：

=sinx│₀⁹⁰=sin=1，由于x为弧度值，令x=，t为角度值，由于

==，这里利用了极限定理（3），

≠ 1，因此导数（sinx）’≠cosx，高等数学计算结果是错误的，正确的计算方法是： t轴为角度数轴，t在区间（0,90）上变动，则有

=

          =

         =sin（）│₀⁹⁰  (利用导数公式

（sin（））’=(cos（）)

         =sin

         ≈sin1.57

          ≈1.569

由于定积分值是唯一定值，≠1，从而证明目前高等数学的正弦函数、余弦函数的微积分公式是错误的，与其相关的计算结果也是错误的。同理可证，目前大学里的其他三角函数的微积分公式都是错误的。也就是说，目前大学课本上，三角函数直接使用弧度值，而直接否定了初等教育的三角函数定义、对应法则，造成了理解混乱、前后定义自相矛盾逻辑、三角函数微积分公式错误，严重阻碍了高等数学、物理学等等领域的科学发展，这个重大微积分错误世界各国都必须立即给予纠正。

第四节  某些函数y= f(x) 在点 x0取0 的泰勒展开式

令f（x）=sin（x*180/π），x0取0，x轴是弧度数轴，则

sin（x*180/π）=x-x^3/3！+…+（-1）^（n+1）*x^（2n-1）/（2n-1）！+….

令f（x）=cos（x*180/π），x0取0，x轴为弧度数轴，则

cos（x*180/π）=1-x^2/2！+…+（-1）^（n+1）*x^（2n-2）/（2n-2）！+…

令f（x）=sinx，x0取0，x轴为角度数轴，则

sinx=px-（px）^3/3！+（-1）^（n+1）*（px）^（2n-1）/（2n-1）！+…，其中p=π/180，π为圆周率。

令f（x）=cos（x），x0取0，x轴为角度数轴，则

cos（x）=1-（px）^2/2！+…+（-1）^（n+1）*（px）^（2n-2）/（2n-2）！+…，其中p=π/180，π为圆周率（纯数值）。