在小学我们就学习了角度,然后到了初高中才学习了弧度,但弧度这个后来者却成为了数学中的重要组成部分,取角度而代之,这是为什么? 简单的回答就是,弧度使得代数运算更简单,下面来详细解释下。 往下面看的时候需要你对角度、弧度有所了解,如果不清楚可以先看“为什么会有弧度制”这篇文章,还可以扩展看下这里和这里。 1 角的度量 首先来清晰下本文要解决的问题,让我们从角的定义说起。角可看作是旋转运动的产物: 角的大小可以用多种方式来度量: 解释下上面这个动画:
在这么多计量方式中,弧度会使得代数运算更简单,这就是本文要解释的核心问题。 2 直觉 我们先通过直觉来解释下为什么弧度会更好: (1)角度认为旋转一周,数值会从变化到。这种计量方法是古巴比伦人发明的,可能源于古巴比伦一直使用进制,还可能因为容易被整除,除了和自身以外,还可以被 个数整除(、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、),所以很多特殊角的角度都是整数。 不过从数学角度看,上面的理由都不太重要,古巴比伦人这样发明其实蛮随意的。 (2)而弧度认为旋转一周,数值会从变化到,这种计量方法包含了圆周率,这是圆的本质特征,所以它会是更好的计量方法。 下面再来定量的分析,通过计算来展示下弧度是更好的计量方法。 3 弧长和扇形面积 假设圆的半径为,其中有某角: 如果用弧度(下面用表示采用的是弧度)来计算弧长以及扇形的面积,因为弧度包含了圆周率 ,所以结果很简单: 而用角度(下面用表示采用的是角度)来计算的话,其结果会更复杂: 在微积分中有一个重要的极限,用弧度和角度得到的答案也不一样。 4.1 弧度 首先引入一个单位圆,从中取 角: 在中,根据三角函数,容易得到以及: 以及: 借助上一节推导过弧度下的扇形面积,上面不等式可以写作: 最终利用夹逼定理可以求出: 4.2 角度 如果用角度的话,那么这些不等式: 借助角度下的扇形面积,可以写作: 说明下,上面的和是角度制下的三角函数,它们接受角度值,和弧度制下的三角函数关系为: 接着用夹逼定理,最终可得: 5 求导 基于上述重要极限的求解,可得弧度制下的导数为: <mjx-container jax="SVG" display="true" role="presentation" ctxtmenu_counter="150" data-formula="\begin{aligned} (\sin a)" &="\lim_{x\to" a}\frac{\sin="" x-\sin="" a}{x-a}\\&\quad\="" a}\frac{2\sin\frac{x-a}{2}\cos\frac{x+a}{2}}{x-a}\\&\quad\="" a}\frac{2\cdot="" \sin\frac{x-a}{2}}{x-a}\cos\frac{x+a}{2}\\&\quad\="" a="" \end{aligned}'=""> 通过链式法则就可以得到角度制下的导数为: 可以看到,在弧度制下,从弧长计算开始就很简单,这种简单一直延续到各种计算: 可以想象,除了上述结果外,各种三角函数、对应泰勒级数等在弧度制下都会最简单,所以我们会使用弧度。 我们用同样的通俗易懂、图形化的方式,对《线性代数》、《单变量微积分》、《多变量微积分》、《概率论与数理统计》进行了精讲: 也可以直接点击下面图片购买机器学习的《监督式学习》课程 |
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