今天,王老师为大家整理了七年级数学下册第一单元知识点归纳,有需要的学赶紧收藏保存! 整式的乘除 知识1:同底数幂的乘法 1.法则:am·an=am+n(m,n都是正整数) (1)底数a可代单项式,也可代表多项式; (2)运用该法则时,底数必须相同。 2.推广:am·an·ap·…·aq=am+n+p+…+q(m,n,p,…,q均为正整数) 3.逆用:am+n=am·a(m,n都是正整数) 例 若a3m=8,a2n=16,则a3m+2n= 。 [解析]因为a3m=8,a2n=16,所以a3m+2n=a3m·a2n=8×16=128. 4.拓展: 知识2:幂的乘方 1.法则:(am)n=amn(m,n都是正整数)底数不变,指数相乘 2.推广:[(am)n]p=amnp(m,n,p都是正整数) 3.逆用:amn=(am)n=(an)m(m,n都是正整数) 知识3:积的乘方 1.法则:(ab)n=anbn(n为正整数)底数分别乘方.即:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘 2.推广:这个性质对于三个或三个以上因式的积的乘方也适用,如(abc)n=anbncn(n是正整数) 若所给的幂底数可化为同一个数的幂的形式,可逆用幂的乘方化为同底数幂,根据指数的大小确定所给幂的大小关系,如820=6410,430=6410,因此820=430. 3.利用幂的运算法则比较大小: 所给幂的指数、底数均不相同,且指数较大时,可利用幂的乘方的性质化为同指数的幂,根据底数的大小关系确定所给幂的大小关系。 知识4:整式的乘法 1.单项式与单项式相乘 (1)法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。 (2)步骤: 2.单项式与多项式相乘 (1)法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.单项式与多项式相乘的依据是乘法分配律。 (2)字母表示:m(a+b-c)=ma+mb+m(-c)=ma+mb-mc (3)注意事项: ①多项式与单项式相乘后仍是多项式,积的项数与多项式的项数相同. ②在计算时,不要丢掉多项式中各项前面的符号. 例 已知xy2=-6,求-xy(x3y7-3x2y5-5y)的值 [分析]由于乘法运算后,所求式中各项的x的指数总是y的指数的一半,故可用幂的运算实现整体代入. [解]-xy(x3y7-3x2y5-5y)=-x4y8+3x3y6+5xy2 =-(xy2)4+3(xy2)3+5(xy2) 当xy2=-6时 原式=-(-6)4+3×(-6)3+5×(-6)=-1974 3.多项式与多项式相乘 (1)法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加 (2)字母表示:(a+b)(m-n)=am+a(-n)+bm+b(-n)=am-an+bm-bm (3)注意事项: ①多项式与多项式相乘,结果仍是多项式 ②在合并同类项之前,积的项数应该等于两个多项式项数之积,最后的计算结果中不能含有同类项 ③把多项式与多项式相乘所得的积合并同类项后,如果结果中不含某项,那么该项的系数为0 知识5:整式的除法 1.同底数幂的除法 (1)法则:am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n) 即:同底数幂相除,底数不变,指数相减 (2)推广:am÷an÷ap=am-n-p(a≠0,m,n,p都是正整数,并且m>n+p) (3)逆用:am-n=am÷an(a≠0,m,m都是正整数,并且m>n) 2.零指数幂的意义 a0=1(a≠0),即:任何不等于0的数的0次幂都等于1. 3.单项式除法法则 单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. 4.多项式除以单项式法则 (1)法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. (2)字母表示:(am+bm-cm)÷m=am÷m+bm÷m+(-cm)÷m =a+b+(-c)=a+b-c (3)注意事项: ①多项式除以单项式,应清楚多项式的每一项的符号,相除时要带着符号与单项式相除. ②注意运算顺序,有括号的先算括号里面的. 乘法公式 知识1:平方差公式 1.平方差公式 (1)代数表达:(a+b)(a-b)=a2-b2;相同为a,相反为b. (2)文字表述:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (3)重要提示:公式中的字母a和b可以是数,也可以是式子(包括单项式、多项式等). (4)变形公式:(b+a)(-b+a)=a2-b2;(-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2; (-a-b)(a-b)=(-b)2-a2; 2.平方差公式的特点 (1)等号的左边是两个二项式相乘,且有两项相同,另外两项互为相反数; (2)等号的右边是相同项的平方减去互为相反数项的平方 例:计算:(1)(-0.1-a)(a-0.1);(2)98×102. [解](1)(-0.1-a)(a-0.1)=(-0.1-a)(0.1+a)=(-0.1)2-a2=0.01-a2; (2)98×102=(100-2)×(100+2)=1002-22=10000-4=9996. 知识2:完全平方公式 1.完全平方公式 (1)代数表达:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2 (2)文字表述:两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍 (3)变形公式:①a2+b2=(a+b)2-2ab;②a2+b2=(a-b)2+2ab; ③2ab=(a+b)2-(a2+b2);④2ab=(a2+b2)-(a-b)2; ⑤(a+b)2=(a-b)2+4ab;⑥(a-b)2=(a+b)2-4ab; 2.完全平方公式的特点 (1)等号的左边是一个二项式的完全平方的形式; (2)等号的右边是一个二次三项式,其中有两项是平方的形式,另一项是写成平方项的两项底数乘积的2倍或—2倍. 知识3添括号法则 (1)代数表达:a+b+c=a+(b+c);a-b-c=a-(b+c) (2)文字表述:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不改变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号、例 计算:(2a+b-2)(2a-b-2) [分析]由于两个括号中含有相同的项和互为相反数的项,故可应用平方差公式计算把2a-2看作一项,b看作另一项 [解](2a+b-2)(2a-b-2)=[(2a-2)+b][(2a-2)-b]=(2a-2)2-b2 =4a2-8a+4-b2. |
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