解题研究综述 | 数学解题研究30年（上）

一个大风子 2022-05-04 发布于山东

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“怎样解题”是数学教师思考的两大问题之一(另一个是“怎样教学”)，也是数学教育研究的基本课题之一．

为帮助青年数学教师了解我国数学解题研究进展，“少走弯路”，“站在前人的肩膀上前进”，我们推荐几篇解题研究综述文章．

本期推荐罗增儒、罗新兵老师的文章《数学解题研究30年》（1977-2008）（上），该文发表在《湖南教育(下半月版)》2009年第1期．

“怎样解题”是数学教师思考的两大问题之一(另一个是“怎样教学”)，也是数学教育研究的基本课题之一．

中国是个解题古国、大国和强国，历来重视解题研究．古典名著《九章算术》以九卷、246道题目及其解答术构成篇章，可谓解题研究的开山之作．

1977年恢复全国高考使解题研究重新起步，1978年恢复数学竞赛又给方兴未艾的解题研究提供了新的动力，1980年前后翻译出版波利亚的著作更给中国的解题研究吹来一股春风．久旱逢甘雨，中国的数学解题活动如同沉积有时的火山重新喷发，如同沉睡方醒的大海重又咆哮．在现行考试制度与改革开放的双重背景中，中国的解题传统很快就重振雄风，形成特色．回顾中国数学解题研究30年（1977-2008），虽有不少功利性、应试性、重复性的工作，但依然表现出健康的主流．

涉及数学解题的文章书籍是研究解题现状的原始素材，这方面的资料浩如烟海，对解题研究的贡献也有重有轻，理顺这些情况是解题研究的一项基础工程．我们通过对文章书籍的初步整理，粗略地将数学解题研究的相关工作分成14个方面，除理所当然的数学自身研究之外（如初等数学研究、教育数学研究），还广泛涉及解题的文献学研究、方法论研究、教学论研究、思维论研究、竞赛论研究、心理学研究、以及数学解题的理论建设等．

一、资料性的分类汇编

这方面的工作一开始是资料奇缺情况下的应急之举，后来逐渐成长为记录解题成果的工具书，近年又发展为网络资料．

1．资料性的工具书．“文革”结束后出版了一批习题集，首先是重版的或国外的，随后是新编的、国内的，书中基本上是就题论题，一题一解．如日本的《几何学辞典》、《三角学辞典》、《代数学辞典（上、下）》，前苏联的《初等代数习题集》、《初等数学习题集》等；国内的有《中学数学习题》（杭州大学数学系，1978）、《中等数学习题集（四册）》（翟连林等，1980）、《中学数学习题汇编》（高希尧，1980）等．再如上海辞书出版社出版、唐秀颖主编的《数学解题辞典·平面解析几何》（1983）、《数学解题辞典·代数》（1985）、《数学解题辞典·三角》（1988）、《数学解题辞典·立体几何》（1991）等，又如河南教育出版社的“中学数学专题丛书”，其宏伟的计划是按专题出50册，堪称“一套大型中学数学教学资料工具书”．

2．技巧性的解题指导资料．这从20世纪80年代开始盛行,也经历了“从重印到新编”的过程．结构上，有的按内容分类，有的按方法分类，主要是结合题目介绍具体的解题方法与解题技巧，其内容很多都可直接进入课堂；形式上，从一招一式的归类到注重一题多解、一题多变和一解多题等都有．如卢正勇的《数学解题思路》（1980），介绍了20种方法，曾获“1987年全国优秀畅销书”奖，发行40多万册．至今，技巧性的解题指导仍是中学教师阅读的主体资料和写作的主流课题，而“题目+解法”模式也是学生最常见到的解题指导模式（当然，未必是最好的解题指导）．

3．高考、中考资料．1977年恢复高考,解题能力成为考取大学、改变命运的关键因素, 曾给中国现代解题研究一个有力的初速度，也使应试复习的解题资料应运而生．其中，有粗制滥造的一部分，体现了解题教学新八股、并为题海战术和应试教育推波助澜；另有一部分是以高考、中考为素材的解题、命题研究，这是具有中国特色的考试文化的重要组成部分，不乏珍品；而更多的是只服务于当年升学的应试资料．在高考辅导资料历史上，发行量比较大的有翟连林主编的书、苏州大学主编的资料等．这方面的工作不仅每年都有很大的实际需求，而且也有一定的研究价值，应该区别对待，尤其是十几个省自主命题之后，题型、题量大增，研究空间也大增（错误也增），“怎样复习，怎样解题，怎样答题，怎样命题，怎样填报志愿”等方面的经验积累，有希望诞生“数学高考学”．笔者《怎样解答高考数学题》（1994）的相关工作《着眼数学素质、服务基础教育——数学高考解题理论的建设》，就曾获普通高等学校优秀教学成果省级二等奖(1995)．

4．文摘工作．20世纪80年代以来，曾经繁荣过一阵文摘工作，如张友余《中国中等数学文摘（1980）》（1983），收集了1980年国内78种期刊中有关中等数学的全部文章和1980年出版的这方面书籍；又如薛茂芳的《数学教学文摘》杂志从20世纪80年代自办发行到90年代，在当时是非常有影响的；此外，还有扬州等地的文摘报刊．如今，这些工作已差不多都被网络资料代替了，这是30年来一个甚为显著的变化．

二、数学方法论的研究

1980年出版的《中学数学教材教法（总论）》在指出“一些基本的数学思想和数学方法”也是“基本知识”时，批评说：“中学数学内容中的这些基本方法历来没有受到足够的重视，甚至连基本的总结也做得很不够……”，这些权威教学论专家们的意见，基本上反映了1980年以前的情况．进入20世纪80年代之后，形势有了很大的改变．

1．首先是从20世纪80年代开始,盛行方法性的解题研究，包括解题特技与解题通法的研究．如赵振威《解题思路——如何求证》（1981），吴振奎《中学数学证明技巧》、《中学数学计算技巧》（1982）等．

2．随后又有“解题方法”层面上的“数学思想方法”研究，如解恩泽、徐本顺主编《数学思想方法》（1989），王连笑《数学解题中的数学思想》（1994），沈文选《中学数学思想方法》（1999），钱珮玲、邵光华《数学思想与中学数学》（1999），欧阳维诚等《初等数学思想方法选讲》（2000）等．

3．更有影响的工作是在徐利治教授的倡导下，数学方法论的理论研究得到了很大的发展、已经形成一个影响全国的气候．这些工作，首先是对数学方法进行概括、分类、评价以及如何运用的论述，进一步是从方法论的高度研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新法则．这里面，既诞生有高层次的理论专著，更出现大批普及型的书籍文章．主要的数学方法论著作有：徐利治《浅谈数学方法论》（1980），徐利治《数学方法论选讲》（1983），郑毓信《数学方法论》（1991），郑毓信、肖柏荣、熊萍《数学思维与数学方法论》（2001），李翼忠《中学数学方法论》（1986），刘兆明主编《中学数学方法论》（1987），赵振威《中学数学方法指导》（1988），周春荔《数学观与方法论》（1996），张奠宙、过伯祥《数学方法论稿》（1996），郑隆炘《数学思维与数学方法论概论》（1997）．此外，从1988年开始，由徐利治主编,江苏教育出版社组织了一套《数学方法论丛书》（12本）;1999年，由王梓坤、张乃达主编，大象出版社（原河南教育出版社）组织了一套《中学数学思维方法论丛书》（12本）．

4．国内的“数学方法论”研究与国外的“问题解决”平行发展，都是对波利亚现代启发法的直接继承．但是，中国的“数学方法论”研究在继承中又有超越，这正成为中国解题研究的一个特色．

三、对波利亚学说的研究与超越

数学上存在证明的方法与发现的方法，在逻辑实证主义占主导地位的历史时期，关于数学发现方法的研究一度陷于停顿，波利亚的贡献就在于自觉承担起复兴数学启发法的重任，并提出合情推理，为数学启发法的现代研究提供了必要基础，20世纪80年代初期，美国数学教育界兴起的“问题解决”研究是对波利亚现代启发法的直接继承．

1．我国数学教育界对波利亚学说的了解，主要是从20世纪80年代翻译波利亚的名著《怎样解题》（1945年）、《数学与似真推理》（1954年，又译为《数学与猜想》）、《数学的发现》（1962年）等开始的，国内一批热心学者召开了波利亚数学思想讨论会，波利亚的解题观、数学观、教学观得到传播；一批波利亚型的数学工作者也在成长．其中,解题表的“四个步骤”、“合情推理”、“知识+启发法”、“教学三原则”等观点已经成为许多同行研究解题教学的指导思想；“数学的两个侧面”都得到了加强，演绎被还原为归纳、类比与猜想，探索被论证为定理、公式与发现,尤其是，从逻辑体系的数学中浮现出了实验体系（返璞归真）；在波利亚学说的影响下，人们从数学具体解题方法、具体解题技巧中提炼理论价值，探索“怎样想到这个解法”、“是什么促使你这样想、这样做”的规律，努力总结人们发现解法、找到思路的思维模式．所有这一切，使得数学解题研究摆脱了就题论题的狭窄天地，使得解题学习超越了“简单模仿+反复练习”的初级阶段，进入到规律探索的较高层次．过伯祥、杨象富《中学数学综合题的解法发现》（1988），过伯祥《怎样学好数学》（1995），杨世明、王雪琴《数学发现的艺术——数学探索中的合情推理》（1998）等书都是力图用波利亚风格来写作的．王梓坤主编的《让你开窍的数学》丛书（1997）也体现了波利亚的影响．

2．对于波利亚的解题表及有关著作，人们从不同的角度阐发了对波利亚解题思想的认识，如过伯祥提出过“念头说”（见《国内外中学数学》1985，4）、“变换题目说”（《中等数学》1988，2），杨世明提出过“动因说”（见《福建中学数学》1987，4）等．我们则更倾向于“化归论”，将其归结为5个要点：程序化的解题系统，启发式的过程分析，开放型的念头诱发，探索性的问题转换，朴素的数学解题元认知观念．“解题系统”是波利亚解题思想的整体框架，“分析解题过程”是波利亚解题思想的思维实质，“念头诱发”是波利亚解题思想的外在表现，“问题转换”是波利亚解题思想的具体实现，朴素的元认知观念是波利亚解题思想的心理学基础．而这一切的背后，丰富的数学前沿研究经历和发现体验是波利亚解题思想的物质基础，启发法是波利亚解题思想的灵魂，揭示“发现和发明的方法和规律”是波利亚解题思想的目标．

3．近十几年来，通过反思和对实际解题活动的深入考察，数学教育界又在“问题解决”的全过程和“高级数学思维”的内外部机制等研究方面取得了新的进展，国内“数学方法论”研究、“数学解题论”研究、“解题过程”与“解题策略”研究、“新题型”研究，以及研究中关注“提出问题”、关注实际应用、关注元认知调控与元认知开发、关注“数学地思维”等，已构成了对波利亚的超越．

四、解题教学的研究与应用

1．这些工作主要是从教育学的角度，对数学解题进行分析研究与系统总结，常带有提高解题教学理论水平，并通过解题培养能力、发展思维的教育动机．这类资料多出现在课程与教学论教材的解题教学部分，或以培养能力、发展思维为主题的解题书刊中．比如在13院校编的《中学数学教材教法（总论）》（1980）第三章第4节中，有较长篇幅谈“数学问题及其教学”：数学问题的种类及其作用；数学题目的选择和安排；提高学生解题能力的基本途径；解答数学问题的基本要求．又如曹才翰的《中学数学教学概论》（1990）第九章第3节为“习题的教学”，张奠宙、宋乃庆主编的《数学教育概论》（2004）第九章第3节为“数学问题与数学考试”．

2．中学教学重视解题，培养中学教师也少不了解题教学的培养．1984年，北京师范学院（今首都师范大学）率先开设《中等数学解题研究》课，陕西师范大学也是从1987年起就开设《数学解题理论》课程．沈文选主编的《初等数学解题研究》（1996）是一本高等师范院校试用教材，而梁法训主编的《数学解题方法》（1995）则是教育学院系统组织的选修课教材．

3．应用既是解题研究的出发点，又是归宿，中学教师把解题新成果用于课堂，编书人把解题新成果写进教材，这是我们最常见的应用，例子很多．特别值得提起的是“贯彻数学方法论的教育方式，全面提高学生素质实验”（又称MM教学方式），张景中的“平面几何新路”、“新概念微积分”等“教育数学”（见下文第九个工作）是更深层次的、更有规模效应的应用．

（未完待续）

【注】转自：新青年数学教师工作室订阅号。