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在教学中，碰到这样一道有意思的题目。 如下图所示的国旗中的五角星，小明通过度量发现五个尖角的度数之和为180°。爱思考的小明就想如果是如下右图的不规则五角星∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数之和是否仍然为180°呢？
通过度量大家发现这个结论的确是成立的。大部分学生都会被如何证明所困扰。我们知道几何强调的是逻辑推理，那么如何对这个问题展开思考呢？我们可以通过问题链的方式来引导学生层层深入。  问题一： 180°在现学的内容中出现的状况只有两种，一种是两直线平行，同旁内角之和为180°，一种是三角形内角和为180°。考虑到图形中有很多的三角形，于是大家决定从三角形的内角和角度去思考。  问题二： 三角形只有三个内角，而此题的结论中有五个角，所以学生决定看看图形中有没有能将两个角并为一个角的基本图形，即外角小红旗模型（如下图∠ACD=∠A+∠B）
在这道题中有这样的基本图形吗？或者说∠A、∠B、∠C、∠D、∠E这五个角中有两个角在一个三角形中吗？思考发现其实很多，比如如图所示的∠A和∠C就可以转化为∠AME（或者∠CMD），当然∠A和∠D也可以。
如此我们可以把这五个角转化到同一个三角形MNE里用内角和解决问题。
问题三： 再思考，刚刚得到的∠NME其实是中间五边形FGHMN的一个外角，我们也学过任意一个多边形的外角和都是360°。我们能不能从外角和的角度来思考解决这个问题呢？
在此基础上，我们还可以结合三角形的内角和构造如下解法。
这时有同学说之前利用小红旗的方式得到另一个结论（如下左图）——∠EBC+∠FCB=180°+∠A。也可以利用这个结论转化到五边形内角和来做。
 问题四： 我们这一章在小红旗基本图形的基础上，还学过蝴蝶形、飞镖模型（如下图）。
那么这些基本图形可以进行角的转化吗？其实飞镖模型很好地将三个角的和转化为一个角（∠BCD＝∠A＋∠B＋∠C）我们也可以从这个角度来思考如何解决这个问题。很明显我们可以找到好几个飞镖模型（如下图蓝色部分），此时∠CHD＝∠A＋∠C＋∠D，考虑到△HBE的内角和为180°，我们可以很好的处理这个问题。
问题五： 其实我们也可以构造蝴蝶形将角进行转化放入三角形中求解，如下图所示黄色部分就是一个蝴蝶形，我们可以利用这个基本图形将∠B、∠E转化到下面黄色区域。
问题六： 其实大家想一想，连接五角星的五个顶点所得的图形不也是一个五边形吗？能否利用这个大的五边形来求解呢？
讲到这里，有同学提出这个图形里面不光有三角形、五边形，其实还可以找出其他的图形，比如四边形，我们也可以通过四边形的内角和外角和解决这个问题。
问题七： 我们在利用基本图形解决了五角星的五个角的度数和为多少的问题，那么如果我们将五角星截去一个角，所得如图所示的图形∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数又是多少呢？
聪明的你能利用今天所学的知识解决吗？ |
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