函数

函数的观念随着微积分的发展而演变，直到十九世纪才完全成熟。

伽利略(1564-1642)研究落体运动，发现「一物体在空中下降的距离，与所经过的时间的平方成正比」。「一物体从高度固定的斜板滑落所需的时间与斜坡的长度成正比」，十七世纪的科学革命开始注重自然界的动态现象， 因此促使能够描述动态的函数观念渐趋成熟。

研究运动也引出更多的曲线，而曲线和函数之间，也经由坐标的引入，变得不可分离。最早的想法认为：一个函数是一个代数式子，只含变数及加减乘除开方等符号。渐渐地，所谓超越（代数的）函数，如三角、 对数、指数等等也加了进来，加上种种曲线的研究，由这些函数经四则运算及合成运算可得的所谓初等函数， 在十八世纪上半叶就已经非常清楚了。

牛顿(1642-1727)等人尽量把函数写成幂级数，这样它的微分与积分，就可经由逐项微分与积分来处理。到了十八世纪中叶，数学家干脆认定函数就是幂级数，而一般的幂级数都可以看成函数。

此时波动问题的兴起，使「函数就是幂级数」这种观念不时遭到挑战，迫使欧拉(1707-1783)承认，波动开始时， 弦所成的曲线 可以是任意的，只要是连续的，但不一定可用幂级数来表示。到了十九世纪初，傅里叶(1768-1830)研究热传导时，他发现必须把初期条件 以三角级数展开：

而

根据传统的作法，他原假定 为幂级数才能有这样的表示法。但他注意到 只不过是函数 , 的曲线下的面积而已，所以不管 是怎样的曲线，、 都可算得，而深信「任何」函数都可表成三角级数之和。

不过「任何」函数牵涉到函数到底是什么，这一点傅里叶也说不清楚。函数观念的澄清是狄利克雷(1805-1859)研究傅里叶论文后的重要贡献。他认为函数 是一个规则，它告诉我们变数 之值固定了，其相应唯一的 之值是什么。 不一定要是一个式子，它只要能说明 到 之间的对应是什么就好了。所以函数不一定是幂级数，也不一定是三角级数；反过来，数学家要研究的是：怎样的函数可表为幂级数？表成为三角函数？

每一函数都有它的对应规则，这些规则的表现方法至少有三种：式子、图形、函数表， 是个式子，但其实它代表一段叙述，说明 与 的对应，只是我们太习惯于多项式所代表的意义，就认为它是个式子。，（高斯函数）等也一样，开始时是一段叙述，久了就成为式子。除了「明」的式子外，还有些「暗」的式子。暗的式子指的是以参数函数、隐函数、微分方程式、积分方程式等来表示自变数 与他变数 之间的数学关系（不一定是单值的对应）。怎样化暗为明自然是重要的课题。

式子之外，函数最常以曲线的形式出现。譬如两电线杆之间的电线所成的曲线，小提琴的声波曲线；它们也可用式子表示出来。但像某地的气温变化曲线，患病者的脑波曲线等， 就很难用式子表示。不过从这些曲线的变化，还是可以对情况有相当的了解。

第三种函数表示法为函数表，它使我们马上查得函数值（或其近似值），这在应用数学上非常重要，而制表的原则及方法则有赖于微积分。（本文节录自曹亮吉的《微积分》之 12-3。）