【原】解析函数的泰勒展开

在物理学的研究中，在工程技术的应用计算中，常常需要把一个解析函数展开成无穷级数。无穷级数的通项多为三角函数或幂函数，分别被称为傅里叶级数和幂级数。幂级数是我们认识级数的基础。

大家知道，一个幂级数在收敛圆内代表了一个解析函数，反过来，一个解析函数也可以在某点附近展开成幂级数。

设想在复平面上有一个以 a 点为圆心的圆周 C ，考察一个解析函数 f(z)，它在这个圆周所围的区域(包括 a 点)以及边界上解析。在这个区域内的任意一点上应用柯西积分公式：

把被积函数中做分母的那个因子做简单的处理，改写成如下的样子：

由于积分变量 ζ 位于圆周上，因此，对于圆周内的任意点 z，(z-a)/(ζ-a) 这个数的模小于 1。借用实变级数理论中 1/(1-x) 这个函数的展开式，把刚刚改写的那个分母因子展开成幂级数：

显然，这个幂级数在圆周内一致收敛，可以逐项求积分。于是，

这个结果被称为解析函数的泰勒展开。还记得解析函数的 n 阶导数公式：

结果发现，泰勒展开中的展开系数 aₙ 正是函数 f(z) 的 n 阶导数在 a 点的值：

一个解析函数按照以上方式展开成幂级数，其收敛范围完全由该解析函数的性质决定。如果这个解析函数在全平面内解析，那么，展开级数一定在全平面内收敛。

如果 b 是离 a 最近的奇点，那么，展开级数的收敛半径 这就是说，一个解析函数的奇点的分布特征完全决定了它的泰勒展开的收敛半径。

利用这个性质，我们可以在把一个解析函数展开成幂级数之前预先把这个幂级数的收敛半径求出来。比如说下面这个函数：

不难求出它的两个奇点：

显然，这两个奇点离开原点的距离是一样的。于是，当把这个解析函数在原点的邻域展开成幂级数时，展开级数的收敛半径

一个解析函数在某一点的邻域的幂级数展开是唯一的。这就是说，如果有两个在同一点上展开的幂级数相等，那么，它们的展开系数必定相等。这个性质被称为泰勒展开的唯一性定理。由于有唯一性定理做保证，当我们对一个解析函数做泰勒展开时，不一定要用求导数的方法来求系数，能够通过用已知的结果拼凑出我们所需要的级数就更好。

复变函数的泰勒展开与实变函数的形式相同。以下用最基本的几个初等函数做示例，借以说明其展开式与相应的实变函数的展开式在形式上完全相同。

在科学研究中经常用到的一个初等函数是指数函数：。对指数函数求 n 阶导数得到：

由此得到指数函数的泰勒展开：

由于指数函数在全平面内解析，因此，上述泰勒展开的收敛范围是 。

还有一个函数比较常见：

这个函数的 n 阶导数为

于是，这个函数的幂级数展开为

由于 z₀=1 是这个函数的唯一的奇点，因此，上述幂级数展开的收敛范围是 。

三角函数也许是在科学研究中最经常遇到的初等函数。对这个函数，我们可以根据它的定义式直接利用指数函数的泰勒展开把它的泰勒展开拼凑出来：

显而易见，上述展开式的收敛范围 。正弦函数、双曲正弦函数和双曲余弦函数也可以用这种拼凑的方法得到它们的泰勒展开。