【原】拉格朗日中值定理和柯西中值定理，应该怎么选择？

当你学到微分中值定理的拉格朗日中值定理和柯西中值定理的时候，可能有一个问题会困扰你。那就是，在解题过程中，到底要如何判断，应该选用拉格朗日中值定理还是柯西中值定理。

而这里面最麻烦的一件事情，当属如何构造合适的辅助函数了。比如下面这道解答题，如果是初学者，就一定会面临这样的问题。

设函数f在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且ab>0. 证明：

存在ξ∈(a,b)，使得1/(a-b)*行列式 |a, b；f(a), f(b)|=f(ξ)-ξf’(ξ).

分析：第一步当然应该先把行列式转化为整式的形式。这个行列式等于af(b)-bf(a)。左边的整个式子是(af(b)-bf(a))/(a-b). 瞧，是不是很像拉格朗日中值定理的公式形式呢？仔细观察，你会发现它与拉格朗日中值定理公式的不同。

而且式子的右边f(ξ)-ξf’(ξ)，如果不细看，很容易联想到函数xf(x). 但xf(x)的导函数其实是f(x)+xf'(x). 和这个式子是有明显的不同的。

因此，这道题肯定不能应用拉格朗日中值定理，必须运用柯西中值定理。柯西中值定理绝大多数情况下都必须构造两个辅助函数，这就又给这道题增加了难度了。

再回到式子右边的f(ξ)-ξf’(ξ)，你应该能想到，函数f(x)/x，或x/f(x). 稍做尝试之后，就会发现，应该构造辅助函数F(x)=f(x)/x，这样它的导函数就是F'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2. 另一个辅助函数构造为G(x)=1/x. 这个构造是非常巧妙的，因为G(x)的导函数G'(x)=-1/x^2中，分母的x^2正好和F'(x)中的分母约分，可以约掉。而G'(x)的符号性质是负的，正好与F'(x)中的分子约分，使其取相反数。

明确F,G在[a,b]上满足柯西中值定理的条件后，就可以直接运用柯西中值定理的公式了，即在(a,b)上一定存在一个点ξ，使得两个函数的两个端点函数差的比，等于ξ的两个导函数值的比。通过化简就可以得到要证明的式子了。

下面以图片的形式展示解题过程：

事实上，拉格朗日中值定理，是柯西中值定理中第二个函数G(x)=x的特例。但拉格朗日中值定理，很多人就比较容易上手，而柯西中值定理就会有些难度，关键还是熟能生巧，多学学几道这样的题，自然就会熟练了。