高数习题34 柯西中值定理的证明

今天我们模仿拉格朗日中值定理的证明，给出柯西中值定理的证明。

例34  如果函数在上连续，在内可导，且. 证明在内至少存在一点满足

解题思路

在柯西中值定理中，如果令，则它就收缩成为拉格朗日中值定理，而柯西中值定理可视为拉格朗日中值定理在表述形式上的一种推广。

所以从拉格朗日中值定理证明中所用的辅助函数出发，经过适当的改写就可得到柯西中值定理证明中的辅助函数。

构造辅助函数

则在上连续，在内连续，且，由罗尔定理，存在，使得

整理即可得到要证明的结论。

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注：我们也可以模仿上文中的另一个辅助函数，比如令

之后使用罗尔定理也可以证明柯西中值定理。

我们再对中值定理做一点说明。

拉格朗日中值定理说明了函数在区间内对自变量的平均变化率等于它在该区间内某点处的瞬时变化率；而柯西中值定理则进一步反映了一个函数对另一个函数的相互变化率的关系。

正是这原因，使柯西中值定理为解决两个函数商的变化率问题提供了有效的办法，解决未定式极限的有力工具——洛必达法则就是建立在柯西中值定理基础之上的。

这几篇文章我们从认识问题的角度，以几何事实的启发去推测分析上的结论，同样以几何事实出发去寻求证实猜测的可行方法。目的是顺乎自然地去反映客观规律，以利于对有关命题实质的真正掌握。

但是我们要指出，对直观的依赖，绝不能过分强调，因为任何事物都有局限性。比如问题涉及高维的情形时，几何直观的特点将不复存在，那时无疑必须依赖分析本身，靠抽象的逻辑思维去解决问题。

比如，反复运用柯西中值定理所证明的更为精确的泰勒中值定理，就是典型的一例。

微分中值定理是微分学的理论基础，当然在此我们就不再展开更广泛的讨论了，后面我们仅仅是根据一些例题训练微分中值定理在解题思路中的使用。