一次函数的旋转角

一次函数是初中数学的一个重点内容，将一次函数和几何结合在一起很多同学都感到束手无策，其实我们只要弄清楚此时我们所学的几何内容就能迎刃而解了。今天我们来探讨一下一次函数旋转角的问题。

一次函数旋转角

我们学过全等三角形、相似三角形和直角三角形，所以和函数相关的计算求解就只能利用勾股定理和相似（全等）三角形。

一旦一次函数绕点旋转，肯定是特殊角（30°、45°、60°、90°等），显然和直角三角形有关，所以我们需要利用特殊角寻找直角三角形求解。如果题目中找不到需要的直角三角形，就想办法构造。

例题一：

如图，已知点A的坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠ɑ=75°，则b的值为（    ）

分析

要求b的大小，其实就是求线段OB的长，可以放在直角三角形AOB中处理，由图可知，∠ɑ=∠BCA+∠BAC，而由直线y=x+b可知∠BCA=45°，从而求出∠BAC=30°来求解。

解答

例题二：

如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A，B，以点A为中心将直线AB顺时针旋转90°得到一个新的直线，求新的直线的解析式。

分析：

旋转90°在图中就构造了

例题二的另一种表述：

如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A，B，

以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，求过B，C两点的直线的解析式．

分析：

从结论入手，求直线的解析式需要知道两个点的坐标，而点B的坐标是能求的，所以我们的目标就是求出点C的坐标；从条件来讲利用线段AB在第一象限内构造等腰直角三角形，我们应该构造“一线三等角”的全等利用线段长从而求出点C的坐标。

解答：

例题三：

已知直线l1：

与y轴交于点A，直线l2经过点A，l1与 l2在A点相

交所形成的夹角为45°（如图所示），则直线l2的函数表达式为（     ）

A.      B.   

C.      D.

分析：

看到45°就应该放入直角三角形，考虑到在直角坐标系中求函数表达式，所以过点B作BC⊥AB构造三角形全等求出点C的坐标即可。

解答一

解答二

两种解答比较

对于这两种方案，本质上的思路是相同的。从计算思考的角度，我们可以发现其实方法一要好一些，因为方法一的全等中线段长都能直接求出，而方法二中全等的线段长无法直接求出，需要解方程组才行。大家可以用同样的方法试一试下面这道题。

试一试：

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是           ．（盐城中考）

总结

其实在一次函数中出现所谓的角度问题，如果是90°，直接利用坐标构造相似三角形求解；如果不是90°，一般通过构造直角三角形相似，利用特殊角的三角函数求解。