官方解读：核心素养的内涵

出处：义务教育数学课程标准（2022年版）解读

编写：义务教育数学课程标准修订组

主编：史宁中  曹一鸣

出版社：北京师范大学出版社

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核心素养的内涵

数学课程要培养的学生核心素养，是通过数学活动逐步形成与发展的正确价值观、必备品格和关键能力。核心素养反映了数学学科的基本特征及其独特的育人价值， 是现代社会公民素养系统的重要组成部分。核心素养具有高度的整体性、一致性和发展性。《2022年版课标》提出的数学课程要培养的学生核心素养，主要包括“三会”：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。“三会”既反映了数学活动的基本特征，也是学生对数学基本思想的感悟和内化的结果，体现了数学学科对所有学生的教育价值，在中小学的数学课程、教学与评价方面具有统领作用。

下面对“三会”的内涵作进一步的解读。

一、会用数学的眼光观察现实世界

《2022年版课标》首先界定了作为核心素养的“数学眼光”的内涵，表达了以下几方面的含义。

第一，“数学眼光”是观察现实世界的一种特殊方式，其目的是透过事物的表面现象和各种物理属性，抽象出数量关系与空间形式。例如：毕达哥拉斯可以在和谐的音乐中发现琴弦的比例关系；笛卡儿通过蜘蛛网找到了构建直角坐标系的灵感，将数与形巧妙地联结在一起；牛顿在苹果下落和天体运动之间建立了统一的数量规律；爱因斯坦想象着自己以光速旅行，看到了弯曲的时空……因此，用数学眼光观察世界的独特方式是基于数量关系与空间形式的数学抽象和直观想象。《普通高中数学课程标准(2017年版和2020年修订）》给出了“数学抽象”与“直观想象”的内涵与行为表现，它们可以看作“数学眼光”在高中阶段的主要表现形式。

第二，问题是数学的心脏。“数学眼光”的一个重要含义是在各种现实和数学的问题情境中，“看”出其中的数学规律，发现和提出有意义的数学问题。从“素数之谜”到“三大作图不能问题”， 从“费马猜想”到希尔伯特的“23个数学问题”， 数学这门学科之所以几千年来都长盛不衰，就在于拥有源源不断的来自现实又超乎想象、看似简单却异常深刻的问题与猜想。因此，无论是数学学习、数学研究还是数学应用， 发现和提出有意义的数学问题都是最重要的一个环节。一些国际比较研究表明，中国学生善于解决问题，但在发现和提出数学问题方面有所欠缺。改变这种现状的一个主要途径，就是把发现和提出数学问题作为学生学习数学、理解数学的一种基本方式，帮助学生逐步形成和发展“数学眼光”。

第三，“数学眼光”在形成和理解数学基本概念、关系和结构方面具有重要意义。每一个数学概念、关系和结构的发生发展都涉及三种过程：历史过程、逻辑过程、心理过程。通过探寻数学发展历史，可以看到数学研究对象产生的源泉、必要性，以及表达方式的优化历程；通过构建不同数学对象的逻辑联系，可以看到数学知识的来龙去脉，理解数学概念、关系、结构的合理性与意义；通过对数学对象的感性认识、直观想象和符号表征，可以体验从具体到抽象的心理过程，积累数学基本活动经验。因此，使学生形成和发展“数学眼光”的一条基本途径是加强概念教学。

第四，除了数学学习和数学内部的问题解决外，“数学眼光”还表现在观察与探索数学外部的世界上，从数学的角度去理解自然与社会人文现象背后的数学原理，体验数学的审美价值。“真”与“美”是数学这门学科自始至终追求的目标。从太阳、月亮的形状到落石在水面上产生的波纹，从古埃及的滚木到中国古代的车轮，人们不仅从中抽象出完美绝伦的几何图形“圆”，而且揭示了车轮可以平滑前行的数学奥妙：圆心到圆周任意一点的距离都相等。此外，圆拥有各种各样的对称性，周长给定的平面图形中圆的面积最大，圆周上每一点的“弯曲程度”（曲率）都相同，等等。这些数学原理在一定程度上都源自对自然界的观察。

此外，“数学眼光”可以激发一个人的好奇心与想象力，而好奇心与想象力是从事探究活动、发展创新意识和能力的基础。正如集合论的创始入康托所说，“数学的本质在于它的自由”，数学是创造性的艺术，“一位数学家，就像一位画家或诗人，是模式的创造者。如果他的模式比画家或诗入的模式能留存得更久，那是因为这些模式是用理念创造出来的”。数学课程可以为学生提供各种各样、不同水平的创造活动和素材。正因为如此，荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔把“再创造”作为数学学习的一种基本方式。

当然，不同的人所具有的“数学眼光”在深刻性、多样性等方面也会有所不同。义务教育阶段的“数学眼光”主要表现为数感、量感、符号意识、抽象能力、几何直观、空间观念，以及由此进一步发展的创新意识，具体要求是：

通过对现实世界中基本数量关系与空间形式的观察，学生能够直观理解所学的数学知识及其现实背景；能够在生活实践和其他学科中发现基本的数学研究对象及其所表达的事物之间简单的联系与规律；能够在实际情境中发现和提出有意义的数学问题，进行数学探究；逐步养成从数学角度观察现实世界的意识与习惯，发展好奇心、想象力和创新意识。

二、会用数学的思维思考现实世界

从古希腊开始， 数学就被称为“思维的体操”。《2022年版课标》对“数学思维”的内涵给出了具体的描述，表达了以下几方面的含义。

第一，数学思维的目的是理解与解释现实世界中的数量关系与空间形式，是一种抽象的、一般化的思维方式。与实验科学不同，数学是在一些基本事实和明确的概念的基础上，通过逻辑推理来判断结论的真实性。自然科学中的许多结论会随着实验条件和人类知识的进化被推翻或者改进，而数学的逻辑体系则可以亘古不变。例如：虽然今天的运算对象已经超出了数的范围，但在所有的数系中1+1=2永远成立；虽然今天已经有了各种非欧几何，但在欧氏几何中，两千多年之前确定的很多定理今天仍然让许多人着迷。正因为数学思维的这种确定性，在数学的发展过程中，人们一般不需要把一个理论体系推翻重建，数学家的工作就是在原有的基础上不断地夯实、完善，进而产生各种新的思想，拓宽数学的疆域。

第二，数学思维的基本元素是数学概念。日常生活中的许多概念通常都具有不同程度的模糊性，如对于“好人”“幸福”这样的自然概念，每个人可能会有不同的理解 。而数学概念必须是确定的，即使在小学阶段，许多数学概念虽然没有给出严格定义，但它们仍然是确定的，如每个学生都知道什么是偶数、三角形等。数学概念的确定性是研究概念之间关系的基础。此外，数学概念的内涵虽然是确定的，但其表现形式往往多种多样。例如：分数可以看作整数除法的结果，也可以看作两个离散集合的数量之比；三角形中既有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，也有等腰三角形、等边三角形。数学概念的表征多样性使得数学思维具有高度的灵活性。

第三，在数学思维的运作过程中使用的是一些具有普适性的数学方法。笛卡儿认为，为了确立真理，应该用数学方法，因为这种方法超越了它的具体研究对象，“它比人类流传下来的其他获取知识的工具更有力量，是其他工具的源泉”。数学方法还具有高度的统一性。从自然数的运算，到整数、有理数的运算，再到实数、复数的运算，都遵循着统一的运算律，代数式、方程、函数中的各种运算在本质上仍然是数的运算。数学方法的这种统一性，使得不同学段的数学学习可以融会贯通，许多高深的数学思想方法甚至在小学阶段就可以埋下种子，可以让学生去体验、感悟，然后再逐步明晰、精确。例如，在小学阶段就可以讨论各种与分类、秩序有关的活动，也可以初步运用对应、对称的思想，而这样的大观念在现代数学中已经无处不在。

第四，数学思维的基本形式是逻辑推理和数学运算。从两千多年前的古希腊开始， 数学与逻辑就始终交织在一起，相辅相成。《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订）》对“逻辑推理”给出了明确的界定：“逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。”逻辑推理作为一种求解数学结论、构建数学体系的重要方式是不可或缺的。数学的产生和发展始于对具体问题或具体素材的观察、实验、归纳与类比等或然推理，但又不停留于这些活 动，而是在此基础上进一步通过比较、分析、综合、概括去揭示事物的本质，通过演绎推理得出数学结论。数学学习和研究从来不满足于特殊情况的结果，而是通过归纳、类比等方法去探索研究各种对象的一般规律，寻求解决问题的一般方法。这是在数学发展与数学学习过程中形成的数学特有的思维方式。与逻辑推理一样，运算也是数学思维的一种基本形式， 特别是东方的数学传统更强调通过运算解决问题。《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订）》也对“数学运算”给出了具体的阐述：“数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。”随着计算机与大数据的发展，各种算法被广泛应用于信息简约和大数据的处理，计算思维已经成为入工智能时代的基本素养。

第五，为了确保数学思维的简约、严谨和一般化，数学采用了一套人工符号系统。阿拉伯数字的诞生不仅统一了各种繁杂的记数方法，而且极大地简化了数的运算；进位制的设置不仅解决了表示大数的困难，而且厘清了数位之间的逻辑关系；未知数的引入使得代数成为一种在一般层面上解决问题的科学，变量与坐标系的出现使得人们可以研究稍纵即逝的运动与变化过程，成为现代数学的起源；而集合论的问世使得数学可以重建自己的根基。因此，数学的这套人工符号系统不仅是数学对象的精确表达，也是数学思维的载体与工具。

此外，数学思维还可以帮助学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的科学态度与理性精神。

数学思维作为学生的核心素养，在义务教育阶段的主要行为表现是“运算能力”、“推理意识”（小学）与“推理能力”（初中）， 具体要求是：

通过经历独立的数学思维过程，学生能够理解数学基本概念和法则的发生与发展，数学基本概念之间、数学与现实世界之间的联系；能够合乎逻辑地解释或论证数学的基本方法与结论，分析、解决简单的数学问题和实际问题；能够探究自然现象或现实情境所蕴含的数学规律，经历数学“再发现”的过程；发展质疑问难的批判性思维，形成实事求是的科学态度，初步养成讲道理、有条理的思维品质，逐步形成理性精神。

在运算方面，主要关注数与代数式的运算，要求学生在理解算理的基础上灵活、熟练地运用各种算法解决问题。在推理方面，更强调归纳、类比的推理形式，以及在推理过程中直观经验的运用，在逻辑的严谨程度上可以适当降低要求。

三、会用数学的语言表达现实世界

语言是思维的载体，数学语言承载着数学的基本思想。《2022年版课标》对“数学语言”的内涵阐述包括两层含义：①在数学内部能够用数学语言清晰、准确、严谨地表达数学的研究对象（概念、关系和结构）及思想方法，利用数学语言进行思考、交流和解决问题，其中所运用的是一套形式化的人工符号系统；②用数学描述、解释和解决现实世界中的实际问题，其中的主要表达方式是数学模型与数据。

第一，通过数学学习学生应该逐步适应数学的表达方式。按照布鲁纳的表征理论， 数学对象的表征一般可以分为三个阶段，即操作性表征、表象性表征、符号性表征。通过这种具体到抽象的表征发展过程，一方面使得数学概念和性质的表征越来越明确、严谨，可以直接参与数学思维活动；另一方面可以使学生在符号表达与具体直观之间建立联系，逐步学会用数学语言表达自己的想法，解释现实世界中的数学规律。

第二，数学建模是数学应用的基本方式，是数学与现实世界及其他学科交流的基本途径。《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》对“数学建模”的表述为： “数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解 决问题的素养。数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。”通过数学建模活动，学生“能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神”。在义务教育阶段， 虽然不能像高中阶段那样开展完整的数学建模活动，但可以通过建立数学与现实世界的联系，以及各种简单的数学应用问题，使学生初步形成模型意识与模型观念。

第三，数据是表达随机现象的基本工具。随着信息技术的普及和社会经济的发展，当今社会已经迈入了大数据时代，“用数据说话”既是这个时代的特征，也是全社会的共识。“用数据说话”的核心是通过分析数据探索事物发展的量化特征和规律，达到认识世界、设计世界和管理世界的目的。《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订）》中是这样阐述“数据分析”内涵的：“数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养。”因此，数据是表达、解释现实世界中随机现象，并得出统计推断与决策的基本形式。增强基于数据表达现实问题的意识，可以帮助学生形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、联系和规律的活动经验。

此外，从毕达哥拉斯到伽利略，再到爱因斯坦，人们相信：大自然是用数学语言谱写的，宇宙在其结构和运作上都是数学化的，只有通过数学表达的物理性质才可以被人类理解，如果没有数学语言，“人类会徒劳地在黑暗的迷宫中游荡”（伽利略语）。冯·诺依曼在题为“数学在科学和社会中的作用“(The Role of Mathematics in Science and Society) 的著名演讲中，解释了很多伟大的数学思想虽然是在没有考虑任何用途或使用价值的清况下发展起来的，但历史的进程都表明，这些理论、模型和方法却可以 用来解决和回答某些截然不同的知识领域里的问题。同时，很多数学思想已经变得无处不在，尽管数学似乎远离现实， 但是我们几乎可以在生活的各个方面发现它的踪影。因此，数学这门学科本身就具有语言的特征，可以揭示自然现象背后的普遍规律，为其他学科提供精确的表达方式。数学语言不仅有助千学生认识现实世界，也有助千他们学习其他的科学知识，发展应用意识与实践能力。

在义务教育阶段，数学语言素养的具体要求是：

通过经历用数学语言表达现实世界中的简单数量关系与空间形式的过程， 学生初步感悟数学与现实世界的交流方式；能够有意识地运用数学语言表达现实生活与其他学科中事物的性质、关系和规律，并能解释表达的合理性；能够感悟数据的意义与价值，有意识地使用真实数据表达、解释与分析现实世界中的不确定现象；欣赏数学语言的简洁与优美，逐 步养成用数学语 言表达与交流的习惯，形成跨学科的应用意识与实践能力。

数学语言素养在小学阶段的主要表现是“数据意识”与“模型意识”，在初中阶段的主要表现是“数据观念”和“模型观念”，同时，把“应用意识”作为两个学段的共同要求。由于数学学科的核心素养是一种内隐的心理特征，只有在相关的具体数学活动中才能逐步形成、发展、表现与评价，因此在实际的数学课程、教学与评价中，需要把核心素养细化为外显的、可操作的、可观察的、可测量的行为表现。根据不同学段的数学知识特征及学生的认知发展水平，《2022年版课标》分别提出了具体的要求。表5-1给出了“三会”与小学、初中、高中三个阶段的主要表现之间的关系。

核心素养	各阶段主要表现			跨学科表现
	小学	初中	高中
会用数学的眼光观察现实世界	数感	抽象能力	数学抽象	创新意识
	量感
	符号意识
	几何直观	几何直观	直观想象
	空间观念	空间观念
会用数学的思维思考现实世界	运算能力	运算能力	数学运算	应用意识
	推理意识	推理能力	逻辑推理
会用数学的语言表达现实世界	数据意识	数据观念	数据分析
	模型意识	模型观念	数学建模

从上表可以看到，《2022年版课标》在提炼核心素养的阶段表现时，考虑到了以下几个方面。

1. 核心素养在不同阶段的表现具有一致性，反映了数学的基本思想与活动特征；同时，核心素养也有一个发展的过程，不同阶段有不同的水平特征。按照“会思考，会做事”的要求，大致可以把核心素养的行为表现分成以下三个层次。

（1）数学意识。这是一种基于经验的感悟，是学生通过多次参与某种数学活动， 逐步形成的对活动特征、过程与操作方法的感性认识，其中既有感知的成分又有思维的成分。其特点是：具体化、个性化与波动性，还没有形成明确的、稳定的思考与做事原则。

（2）数学观念。这是一种基千概念的理解，是学生通过理解学科的基本概念，逐步形成的对学科特征、问题与思考方式的理性认识。其特点是带有学科特征，相对稳定， 对如何进行数学思考、解决数学问题有一定的指导作用。

（3）关键能力。这是一种基于问题解决的稳定的心理特征，是学生在掌握数学“双基”的基础上，通过数学活动和问题解决将数学基本思想方法内化的结果。其特点是可以外显为问题解决的效率与思维品质。

学生在小学阶段和初中阶段的认知发展具有明显的阶段特征，与之对应的数学课程要求也存在差异。因此，《2022年版课标》将核心素养的表现分为小学与初中两个阶段。小学阶段除了运算能力和空间观念外，主要是形成初步的数学意识；初中阶段则形成相对明确的观念，并发展更多的数学关键能力。

2. 核心素养的形成与发展需要依托具体的数学内容。义务教育数学课程内容由“数与代数”“图形与儿何”“统计与概率”“综合与实践”四个学习领域组成，由此可以大致提炼出与领域相关的核心素养的行为表现。例如，数感、量感、符号意识主要针对“数与代数”领域，几何直观、空间观念同“图形与几何”领域联系密切，数据意识与数据观念主要源自“统计与概率”领域，而抽象能力、运算能力、推理意识与推理能力、模型意识与模型观念则贯穿在所有的数学学习领域之中。当然，由于数学本身具有高度的整体性，各领域的数学知识之间都有密切的联系，因此核心素养的各种行为表现也具有高度的相关性。

3. 核心素养的阶段性表现是落实核心素养的主要方面。从心理测量的角度看，需要根据各种行为表现给出具体的、可观察的、可测益的行为指标体系及相应的样例集。《2022年版课标》虽然针对小学与初中分别提炼了11个和9个核心素养的阶段性表现， 也阐述了每个表现的内涵与主要的行为指标， 但要真正落实到课程、教学与评价中去， 还需要根据不同的数学学习领域对这些行为指标进一步细化。在本章，我们将进行一些初步的细化工作，更多的行为指标及样例还需要广大教师在教学实践中提炼、研究与设计。

此外，应用意识与创新意识是一种跨学科的行为表现。数学学科除了可以培养一些具有学科特征、反映理性精神的核心素养（如抽象能力、推理能力、模型观念）外，在培养应用意识与创新意识方面也有着不可替代的教育价值。数学具有广泛的应用性，义务教育阶段的绝大多数数学概念都直接源于现实世界，学生具有丰富的相关生活经验， 综合与实践也让数学应用走进了日常的数学课堂，因此数学应用是数学学习的一种基本方式。同时，数学又是一门充满活力的学科，数学中的各种概念、问题、猜想都为学生的探究与发现提供了大量的机会，数学中的“再创造”已经成为一种国际化的数学教学理论。