【原】为什么高数教材中不证明这个定理，真的那么难证明吗？

闭区间上的连续函数具有：有界性定理、最值定理、介值定理和一致连续性定理。有界定理和最值定理的证明，老黄已经在前面的作品中分享了。这次老黄要分享的是介值性定理的证明。介值定理是《老黄学高数》系列视频第126讲分享的内容。当时老黄只分享了定理的内容，并没有进行证明。在学习实数的完备性六大基本定理之后，我们就可以对它进行证明了。

介值性定理：设函数f在[a,b]上连续，且f(a)≠f(b). 若μ是介于f(a)与f(b)之间的任何实数，则存在x0∈[a,b]，使得f(x0)=μ.

介值性定理，指的是闭区间上的连续函数，两个端点的函数值不相等时，介于它们之间的任何实数，都存在与之相等的函数值。老黄给大家分享两种证法。

证法一：(应用确界原理)不妨设f(a)<μ<f(b)，令g(x)=f(x)-μ,【这里设左端点比较小，反之也是同理可证的。构造辅助函数是高等数学一项重要的技能】

则g在[a,b]上连续，且g(a)<0, g(b)>0.【辅助函数g在闭区间[a,b]上也连续，且两个端点的函数值异号，似乎用根的存在性定理就可以证明了。但其实根的存在性定理是介值定理的一个特例，所以那样证明并不合适】

记E={x|g(x)>0, x∈[a,b]}，则E非空有界，E⊂[a,b]且b∈E，【E是g>0时的定义域，它包含于[a,b], 且b属于E，因为g(b)>0嘛】

由确界原理，E有下确界，记x0=inf E. 【因为E很明显是有下界a的】

∵g(a)<0, g(b)>0，由连续函数的局部保号性，存在δ>0，【连续函数的局部保号性实质就是极限的局部保号性】

使得在[a,a+δ]内g(x)<0，在[b-δ,b]内g(x)>0，【因为g函数在x=a的极限等于g(a)<0，所以存在a的一个邻域，使得邻域内的所有g(x)<0，但我们只需取这个邻域的右闭邻域就足够了，同理，在b的左闭邻域上，也有g(x)>0】

∴x0≠a, x0≠b, 即x0∈(a,b).【x0不等于a，是因为E本身不包含a, x0不等于b，是因为b是E的最大值，即b是E的上确界。而x0是E的下确界】

若g(x0)≠0，则g(x0)>0，【x0未必属于E，所以未必有g(x0)>0，但只要g(x0)不等于0，就有g(x0)>0，否则g(x)就不连续。或者假设g(x0)<0，也可以利用下确界的定义，证明它是不可能的。这是要用反证法】

则又由局部保号性，存在U(x0,η)⊂(a,b)，使其内有g(x)>0，

g(x0-η/2)>0=>x0-η /2 ∈E与x0=inf E矛盾，【与下确界的定义矛盾。因为下确界减去任意正数，结果都不属于E】

∴g(x0)=0，即f(x0)=μ.

下面再看证法二：

证法二：(应用区间套原理)不妨设f(a)<μ<f(b),令g(x)=f(x)-μ,【这一步和证法一相同】

将[a,b]二等分为[a,c]与[c,b]. 若g(c)=0，则c为所求.【闭区间二等分，如果二等分点的g函数等于0，就刚好是所求的点，否则】

若g(c)>0,则记[a1,b1]=[a,c];若g(c)<0,则记[a1,b1]=[c,b]，则【取两端点g函数异号的那个半区间，记为构造区间套的第一个闭区间】

g(a1)<0,g(b1)>0且[a1,b1]⊂[a,b]，b1-a1=(b-a)/2.【这个闭区间的长度是原区间的一半】

不断重复以上过程，可得g(cn)=0或g(a_(n+1))<0,g(b_(n+1))>0【继续将半区间二等分，如此反复不断进行，如果n等分点cn的g函数值等于0，那么cn就是所求，否则，就会有第n+1个区间的左端点的g函数小于0，右端点的g函数大于0】

且[a_(n+1),b_(n+1)]⊂[an,bn]，bn-an=(b-a)/2^n, n=1,2,….【并且得到一个闭区间列，后面的闭区间真包含于前面的闭区间，且闭区间的长度趋于0，符合区间套的定义】

即{[an,bn]}是闭区间套，

则存在x0∈[an,bn], n=1,2,…【闭区间套确定一个点，一般记为ξ，这里为了保持和证法一的字母相同，记为x0】

若g(x0)≠0，不妨设g(x0)>0，由局部保号性，存在U(x0, δ)，使其内有g(x)>0.

又当n充分大时，有[an,bn]⊂U(x0, δ)，∴g(an)>0矛盾.

∴g(x0)=0，即f(x0)=μ.

两个证法都不是很简单，你应该能够理解为什么高数的教材中一般不对这个定理进行证明的原因了吧！