【原】如何证明连续的周期函数必有最大值和最小值

如何证明连续的周期函数必有最大值和最小值？

连续的周期函数其实很常见，比如正弦函数，余弦函数，都是连续的周期函数，它们都是有最大值和最小值的。不论是正弦函数还是余弦函数，它们都有最大值1和最小值-1. 反之如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数，都是不连续的周期函数，它们要么没有最大值，要么没有最小值，或者干脆既没有最大值也没有最小值。

不过单凭一些特殊的例子，以及我们的想像力的发挥，是不能得到“连续的周期函数必有最大值和最小值”的定理的。想要成为一个数学定理，就必须要进行严密的证明。那么，应该怎么证明这个定理呢?

设f为R上连续的周期函数. 证明：f在R上有最大值与最小值.

证：设f的周期为T，∵f在[0,T]上连续，【这个周期函数是具有任意性的】

∴有最大值f(M)和最小值f(m)，M,m∈[0,T].【在一个周期的闭区间上，下面称[0,T]为第一个周期，符合连续函数在闭区间上的最值定理，即连续函数在闭区间上既有最大值，也有最小值】

任给x∈R，则存在某整数k，使x∈[kT,(k+1)T]，【任何一个实数，都能找到一个周期闭区间，包含这个实数】

∴x-kT∈[0,T]，从而有f(m)≤f(x)=f(x-kT)≤f(M)，【把上面的周期闭区间平移，使之与第一个周期重合，实数x的函数值与对应x-kT的函数值相等。从而得到“任意函数都在第一个周期的最大值和最小值之间”的结论】

∴f(M)=max(xϵR){f(x)}, f(m)=min(xϵR){f(x)}, 即【因此第一个周期的最大值，就是函数的最大值，第一个周期的最小值，就是函数的最小值】

f在R上有最大值f(M)与最小值f(m).【由f的任意性得证】

这就证明了：任何连续的周期函数必有最大值和最小值。你喜欢这个证明吗？