 写在前面 作为老师，我们基本都经历过磨课的过程，其实，想要快速在课堂中站稳脚步，还有一条“捷径”，那就是选中几节不错的课例，对照着视频，把课堂实录“打”出来，没错，打字的打，在电脑上边听，边打字的过程，实际上就是对名师或者优质课的学习，理解，深化，改进，创新、反思的过程。经历几次这样的过程，或许你的课堂会有一个质的变化，工作室的小伙伴们也深有体会。于是我们决定通过“打”的方式深入理解全国著名特级教师张齐华老师的齐华备课室专题以及经典课例，为了能让大家有更深的阅读体验，我们采用第一人称的方式进行呈现。本期是由工作室成员丁巧玲老师梳理的《难点：易“破”不易“避”-以认识分数（二）教学为例》。 01  备课实录  难点：易“破”不易“避” ——以《认识分数（二）》教学为例 我们每一期都只聚焦一个课例，我们希望通过研讨让大家解决如下三个问题： 第一，微观层面：深挖数学学科本质。 第二，中观层面：构建学力生长课堂。 第三，宏观层面：把握全景数学结构。
今天我们探讨的课例是认识分数第二次，我们聚焦的主题是难点易“破”不易“避”。
今天的分享我们还是按照惯例有以下三个部分展开：首先是教材速览（学情评估)；其次是教学建议（学习规划）；最后是要点回顾（反思批评）。
第一板块：教材速览 分数的初步认识，我们主要选择了三个版本的教材，它们是苏教版、人教版和北师版。纵观这三套不同版本的教材，它们的编排有一些相似也有一些不同。最突出的是苏教版和人教版，他们把三年级分数的初步认识分成两段来展开教学。三上分别教学的是一个物体或是一个图形的几分之一或是几分之几。三下重点研究一些物体组长的整体，它们的几分之一或者几分之几。 我们今天讨论的认识分数（二)主要是三年级下学期一些物体组成的整体的几分之一或几分之几。我们看一下几个版本教材编排上细微的差别： 苏教版教材：
苏教版教材安排在了三年级下册。三上时，我们已经认识过把一个物体或是一个图形平均分成几份，求这样的一份或几份时可以用分数表示。在此基础之上，到三下学习一些物体组成整体的几分之一或者几分之几，这是三下的第一节课。这里面我们把6个桃看成是一个整体，平均分给两个小猴，我们看看每只小猴分得这些桃的几分之几。 人教版教材：
人教版教材，同样是例一，仔细的比较一下，你会发现人教版例一分成了两小部分展开。第一部分先从三年级上册学生非常熟悉的一个图形的几分之一引入。先展示了一个正方形的四分之一，这是旧知。然后通过把这个图形剪开，剪成四个完全一样的小正方形。然后去思考一下涂色的小正方形占整个四个正方形的几分之几，实现知识的迁移。在第二个小部分出示了6个苹果，然后把它平均分成3份，而且在集合圈里有清晰的分割线，表示出3个两份，然后揭示出这样的1份是苹果总数的1/3，2份就是苹果总数2/3。总体来说，苏教版和人教版的编排思路比较相似，只不过人教版在揭示6个苹果组成的一个整体，它的1/3和2/3这个新知时，前面加了一道铺垫的题。从一个完整的、独立的正方形，把它剪成四个小正方形组成的一个整体，帮助学生从原有的一个图形的几分之一进入到一些图形组成的整体几分之一，突破难点，也实现了知识的迁移。 北师大版教材：
北师版教材是在三年级上册，他们把一个物体或一个图形的几分之一几分之几以及一些物体的几分之一，几分之几放在一起编排的。在这个单元的前面的例一、例二当中，已经完成了对一个物体或者一个图形的几分之一与几分之几的认识，那么到了这儿以后，已经差不多隔了一段时间了，那么开始进入到从原来的一个物体，一个图形，进入到了一些物体或一些图形组成的整体，它的几分之一或者几分之几。
我们看一下，在这样的编排当中，他的思路跟人教版例一的前半部分比较相似，我们看，原来是一个完整的正方形，要求学生根据自己的理解给它涂上3种颜色，那孩子的涂色可能是不相同的，无论怎么去涂色，红色、黄色和蓝色部分， 我们都可以用九分之几来表示，这是我们刚刚前面的例一教学当中的一个重点。在此基础之上我们看到了跟人教版比较相似，要求孩子们把刚才涂色的大正方形把它剪成9个小的正方形，然后去思考每种颜色的小正方形，分别占9个小正方形的几分之几。因为在前面这个题当中，女生说我把每种颜色都涂了3个，那么分别占图形的几分之几，也就是3个红色，3个黄色，3个蓝色，剪开以后，每一种颜色的小正方形还是占这些正方形的的3/9。 三个版本教材的一个基本逻辑的梳理，它们之间的相似的地方以及细微的不同，刚才也做了一个简单的说明，就我这么多年的教学的经历而言，我个人认为其实让孩子去认识一个物体或者一个图形的几分之一或者几分之几，学生的困难并不是很大。为什么？这是北师大教材的这个例题的上半部分，我们来看一下，这是一个完整的正方形，我们试想一下，如果给其中的一份涂上红色，问红色的部分占整个正方形的几分之几？因为原来是一个完整独立的正方形，平均分成9个小正方体也行，以后也就是平均分成了9份，那这样的一份当然就应该是1/9，如果是两份那当然也应该是2/9 。3份、4份以此类推，学生并不会存在认知上的困难。但是注意，当我们的问题从原来的一个物体变成一些物体，从一个图形变成一些图形组成的整体的时候，看起来好像只是从一个个体变成了一个群体，变化不是特别大，但是，实际上可能会给孩子的思维带来巨大的挑战。那么学生究竟存在怎样的困难？教材给出的是怎样的回应？我们老师们是如何去突破这样的难点？在通过难点的过程当中，老师有没有哪些不同的路径？这些不同的路径背后折射出的是老师们怎样的教学主张？那接下来我们就进入今天第二个板块的讨论。 第二板块：教学建议 1、探析：教材之难，难在何处？ 我们的教材在编写的过程当中，他们并没有表现出对这个难点很多的焦虑，或者他们对这个难点给予了很多的一些突破。我们来看看几个不同版本的教材，刚才提到的就是把一些物体组成的一个整体平均分成若干份以后，这样的一份或者几份，该用什么的分数表示。我们长期的实践过程中发现，这里学生特别出现一些思维的混乱或者困难。 理想：教材的诗和远方
我们来看苏教版的教材，例题开宗明义，把一盘桃，也就是6个桃平均分给两只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几。教材再把这一盘桃，通过集合圈在下面图当中呈现了出来，然后通过分一分。直接由老师给出了每只小猴分得这盘桃的1/2。仔细的看一看这一教材，表面看起来岁月静好，好像孩子们并没有遇到太多的困难，有些知识看起来也是想当然的。你看就这一盘桃，每只小猴啊平均分给了两只小朋友，就是平均分成了两份，那每一份就是这盘桃的1/2，但真实的情况真的是这样吗？大家发挥重点的有学生的争取作品来展开讨论。
我们再来看人教版的教材，无论是例一的前半部分，通过原有旧知向新知的迁移，还是6个苹果这个崭新的素材和问题情景，然后你看教材给出的是一份就是苹果的1/3，两份就是苹果总数的2/3，看起来也是波澜不惊，不过在这个过程当中学生会不会遇到巨大的思维挑战？
像这里的苹果图，虽然这也是两个苹果，但是正因为我们教材已经通过分割线，把它明确的平均分成了三份，因此这里的2个，只能看出这样的一份，答案就应该是1/3。这个时候看作2/6是不合适的，至少是不符合题目本身。或者情境图本身所表达的含义，也与分数的基本含义之间是存在冲突的。 从这个角度来说，我个人以为在北师大教材里面，这个女生所给出的答案，实际上还是存在另外一种解释的可能，因此在我看来，教材这样的编排，无论是苏教版教材、人教版教材还是北师版的教材，他们或选择了直接的告知或选择通过这样的方式将知识进行迁移，看起来好像非常顺利的解决问题，但实际上学生头脑里的难以打破的这个难点，他仍然存在的。
我们来看一下北师版教材后面的练习，当我看到这个练习的时候，我个人认为看到这个题，其实还是为这个班的孩子捏了一把汗。如果之前学生完成的只是这样的一个认知的过程，他们对于平均分的分数、表示的份数。尤其是表示的份数和每一份里面的个数之间的这种错综复杂的关系，没有帮助孩子做非常清晰的梳理的话，我们可以想象。 到这里，圈一圈说一说，请问3/4，孩子们到底该怎么圈？我们作为数学老师都很清楚，这里的3/4应该是把整个16个正方形平均分成4份，再选择其中的3份，因此3/4应该圈出12个。这里的2/5也应该是把这25个三角形平均分成5份圈出其中的2份，这是2个竖条或是3个横条，那么最后的结果应该是圈出其中的10个。但是，记住孩子们做出正确的选择和给出正确的答案，它的前提是什么？他应该对这里的一些物体或者一些图形组成的一个整体，它的几分之一或者几分之几的内涵要有非常清晰的认知。比如说这里的3/4，4表示什么，这里的4，不是4个，是把这个这些看成一个整体。我得把它平均分成4份。3是什么？3恰恰是这里的难点，很多同学受前面的整数的影响，他们往往有的时候会把这个3/4会从这一些，16个五角星当中圈出其中的3份，他们认为这就是3/4，不要认为我们是危言耸听，实际上在我们教学的过程当中，这几乎是很多孩子都有可能面临的这个遭遇。 因此在我看来，教材选择的是诗与远方，看起来波澜不惊，岁月静好。我们的孩子在教材的编排的线索过程当中，他们都可以非常轻松的掌握这样的一些物体，它组成的整体，他们的几分之一或者几分之几，好像我们曾经或者之前所学过的一个物体，一些物体，他们的几分之一和几分之几的相关的知识经验可以非常轻松的迁移和类比到我们一些物体或图形组成的整体，它的几分之一或几分之几当中来，但是真相真的是这样吗？我们一起往下看。 现实：眼前的“苟且和迷茫”
这是江苏刘正妹老师做的学习单，学习单中包含了三个孩子，所以大家可以把它分成三份来看。这份学习单还不是学生独立探索以后的结果，是什么呢？大家注意看，我用红色的方框框了出来，上面写的非常明确，请自学第76页的例一以后再来完成这份任务二。
那我们有必要来看看，76页的例一到底是一个怎样的图？其实就是刚才我们在分析苏教版教材的时候，这个例一的主题图。 我们再把它认真的看一下，把一盘桃平均分给两只小猴，一盘桃的集合图在这儿。每只小猴分得这么高的几分之几呢？通过集合图分一分得出结论，每只小猴分得这盘桃的1/2，这是教材呈现出来的。我们来看一下学生在完成这个任务的之前，其实他们都已经自学了教材里的例一，那我就非常好奇了，教材里面已经说得非常明确，每只小猴分得这盘桃的1/2，甚至左边已经把这盘桃通过集合圈的方式把这个桃放在集合圈里，然后中间也用这样的曲线把它平均分成了两份，怎么分？告诉你，答案1/2也告诉你，难道还有问题吗？ 让我们不妨回到刚才的这三个学习单里面来看看。这三份非常典型的信息概念，究竟折射出的是孩子怎样的思维环境。我们先来看其中第1个作品，你看，问每只小猴分的这盘桃几分之几，这个孩子选择了3/6。接着问你是把这盘桃平均分成几份呢？孩子如实回答，我是把这盘套平均分成了2份，分一分，说一说，大家发现了什么？你看明明应该是每只小猴分得了这盘桃的1/2，可是这位同学选择的偏偏是3/6。1/2和3/6，到底哪一个才是正确的？难道都对吗？如果只有一个是正确的，那这个孩子为什么会选择3/6？他头脑里究竟是怎么去识别这个情节？根据我们跟孩子们私下的沟通，因为我们对这个课要做好多次的研究，孩子给出的答案是非常简单的，他们说你看把这些桃给平均分给两只小猴，毫无疑问一共是6个桃平均的两个小猴，当然分得这样的3个桃。他答案非常简单，就是3/6，为什么？理由很清晰，一共6个桃，我拿走3个桃，我当然拿到了这些桃的3/6。大家有没有发现他这边写的是3/6，可他这边去选选择的是平均分成2份。我们在三年级上册的时候已经说过分母表示的是平均分的份数，可是你看这里面分母写是6，平均分的份数是2，这里是有矛盾和冲突的，但是孩子却没办法在这里面把它识别出来。 我们再来看看，第2个孩子。应该说第2个孩子表现出来的思维更大的困境，因为从这个学生作品当中反反复复的这个擦的痕迹看的出来。他应该说经历了很大的这个挣扎的过程，我们来看他给出的答案是每只小猴分得这盘桃的2/3，问他；“你把它平均分得几份？”看这个同学擦的痕迹，好像曾经写过3，后来又改成了2，然后下面又把它平均分成了……。原来是平均分成3份，后来又平均改成了2份，然后最后又改成了答案是2/3。应该说这个作品，从学生不断的擦、改、换的这个痕迹当中，我们看得出来这个孩子很纠结。这就是很正常，因为这是学生第1次从原来的一个图形或者一个物体平均分得到分数进入到了一些物体平均分成若干份，表示这样的一份或几份。孩子面临的挑战无疑是巨大的，后面我们会具体分析不充分展开。 接下来看第3份作品，应该说第3份作品，他选择的正好是我们教材的这个思路，也是一个正确的答案。当然我这里要说了，这个孩子他能够选择1/2，同时也给出准确的答案。这是他独立思考的结果吗？还是他自学教材以后，只是把教材里的相应的结论，把它搬到了这个学习单上来？当然这里面不得而知，但是待会儿我们再让学生提问这个环节当中，我们就看到学生真实的困惑就会出来。 在整个的预习以后，老师请孩子们提出了自己的困惑。大家看看这个孩子他提出是怎样的困惑？他说如果把6个桃平均分成3份，每份2个，那既然每份是2个，为什么不写2/3呢？还要写成1/3呢？我以为这个孩子就跟皇帝新装里的那个小男孩一样，他一下子代表着所有困惑或者至少代表了一大批的孩子，把他们内心真实的困惑给表达出来。 我们把这道题给找到了，其实是在苏教版教材的例二当中，题目是这样的。
如果把一盘桃平均分，如果把一盘桃平均分成三份，每份又是这一盘的几分之几呢?老师选择了让孩子在图中先分一分，再填一填。我觉得老师的引导是非常到位的，如果你不让孩子去分，那这个时候孩子毫无疑问会填2/6，但是如果分一分以后，那么平均分的过程以及平均分的份数，以及对应的每一份的份数，就和原来的分数之间建立了联系，但是如果你不让孩子去分的话，那当然他应该是具有多议性的。你说2/6还是1/3都是无可厚非。 好了，现在我们来结合的这幅图，你看学生的问题是啥意思？6个桃如果平均分成了三份以后，每份不是2个吗？那两个为什么不能写作3份中的这2个呢？听着很别扭。 分数的含义是什么？其实是把它平均分成几份来表示的这样的几份？但是你会发现他一开始就进行了混淆，这恰恰是学生最大的困难。
我想我们可以从这样的4个维度进行分析： 第1个就是刚才所提到的你明明是6个当中的2个，为什么不是2/6而是1/3呢？因为学生他头脑里整数的思维是非常强大的，你是6个桃，对不对？那当然总数就是6个，平均分成三份以后每份是两个，这是他看得见摸得着的，这个时候，你问他每次是这盘桃的几分之几，那当然就是6个当中的两个，就是2/6。可是正确的答案偏偏应该是1/3，因为这里平均分成的是三份，每份表示的就是一份，3等份当中的一份，难道不应该是1/3？但是学生的困难恰恰就在个和份之间。
我们再来看看，这里思维疑点是什么？还有一些孩子我们在沟通的时候跟我们跟说，他是这里面明明你把这个平均分成3份，每份不就是2个吗？干嘛非得要用分数去表示？以前的整数，自然数是可以表示结果的，而用了分数以后，一会儿是2/6，一会儿是1/3，还有的比如说是2/3，这个就乱做一团。这是孩子在思维上面的疑点，我们明明可以用整数来表示，干嘛还得用分数？三年级学生的思维疑点是客观存在的。
比如说一个图形，一个物体它的1/3，，然后一些物体组成的整体它的1/3，包括一个长度单位，一条线段，它的1/3等等。如果在刚刚开始接触1/3的时候，我们就能够把1/3这个数学概念，它的外延，也就是各种各样的表现形态都给孩子做出一个全面的清晰的呈现，然后通过比较、观察、归纳、概括，形成对1/3的一个准确的判断，那我想也不至于到现在孩子们陷入到整个混沌当中。 整整一个学期过去了，原有的关于份数的一些思维，对份数的一些理解，可能已经因为记忆遗忘，差不多已经忘得差不多了，这个时候你在重新去复盘的时候，孩子还是相当的困难。
以上就是我们的第一大板块，我们看到了教材在编排过程当中的云淡风轻，我们看到了孩子在面对这样问题的过程时，他们所思维的这种困顿和纠结，我们也试图帮助学生去还原他们理解的难点，思维的疑点，认知的痛点和心理的盲点。找到了问题以后，那么我们到底该怎么办呢？ 路径1：教材之路，告知或是类比。
我们来看一下人教版的教材例一的上半部分的类比，一个大正方形平均分成4份，涂色的一份是1/4。剪开了以后什么都没有发生变化，只不过原来从一个完整的大正方形简拆分成了4个独立的小正方形，那么涂色部分和整体的这个关系应该没有发生变化，而当然还是1/4。如果这里面再给涂上一个颜色，变成4个正方形，2个涂上的黄色。黄色部分又该用几分之几来表示？毫无疑问这个时候，2/4是一个不错的选择，可是1/2也不是一个错误的答案。因为至少在这个情景当中，我们并没有看出教材希望我们把这4个长方形看作的整体，到底算平均分成两份呢？还是平均分成4份呢？答案毫无疑问毫无疑问，如果平均分成4份答案就是2/4，因为涂色的是两个小正方形。 如果平均分成的是两份，情况就不一样了，左边的这一份两个是白色的，右边的一份，两个是黄色的，应该是1/2。所以迁移看起来没有问题。但是一旦情形发生一些变化的时候，你会发现学生依然可能面临着巨大的思维挑战争。 例二就不用多说了，我们说这里到这个教材通过直接告知，一份是苹果总数的1/3。可是，当你在那振振有词的告诉学生，注意观察，这里平均分成了三份，2份正好就是1/3。 此刻，你是否听到，台下的若干同学的头脑里冒出的一个个的问号?怎么会是1/3呢?这不明摆的是2/6吗?也有同学生会在思考，这怎么会是1/3呢？这应该是2/3啊？平均分成3份，一份是两个，合在一起就是2/3吗？所以我们可以选择以类比的方式，我们可以选择以告知的方式，但是学生头脑里存在着这种思维的困顿，是不会因为告知或者我们所谓的那个类比的迁移就轻轻松松得清楚。这就是我们教学的困境，学习意义和价值存在。 路径2：曲线救国，先一般再具体。
我们来看一下第1幅图，它和我们刚才的教材相比，有哪些不同？或是这个例一和我们教材的例一相比有何不同？教材的例一6个桃子，非常清楚。这里的桃被我们的老师他很巧妙的把它藏在了帽子底下或是器皿下。现在我们来回到孩子们回到课堂的现场，这样的课堂给孩子带来的是什么？设想一下，因为这盘桃到底是多少？学生是没有概念的，,学生接收的信息是一盘桃。把一盘桃分给小猴时，每只小猴分得这盘套的几分之几，由于没有个数这个整数的干扰，正常情况下绝大部分同学给出的都是1/2这样的一个判断。你问孩子为什么？孩子们会说，因为是一盘桃，又分成了两份，那么那个小猴分得的就是1/2，这有点像我们在三年级上册认识的，把一个蛋糕平均分成两份，每份当然是整个蛋糕的1/2，这是知识的正向的迁移。 等到我们的学生已经对于这个问题的答案每个小猴分得这盘桃的1/2，等到学生已经形成了非常清晰的认识以后，这里指所谓的既成事实，我们的老师就把盘子揭开。然后问孩子现在是几个桃？孩子会说6个桃。老师就要求学生把这6个桃平均分成2份，每只小猴分得的是不是1/2？坦率的说，这个时候其实多数孩子有可能会受刚才的1/2的影响，因为他心想，我刚才你们已经给出了这个答案是1/2，也得到了老师的肯定，现在我只不过把这个盖子揭开来，那么照理说盖子揭开来以后他是不会影响最后的结果，因此他们就自然而然承认这个答案。揭开盖子之前答案是1/2，揭开盖子以后答案它不会变魔术，还应该是1/2，因此这个时候每只小猴分得的这3个桃仍然是这盘桃的1/2。但是，也不排除有一些孩子有可能会临阵倒戈。不对呀，我原来不知道的时候写的1/2，这时我就明明看到了6个桃子，那这时候平均分成两份，每份应该是3/6啊？每份应该啥啥啥啊。所以看得出来，这样的思路其实是老师不得已而为之，就像我上面所说的，先一般再具体。就是我先不管你们有几个桃，我先默认它是一整盘桃，然后通过这样的一个一般化的讨论，让孩子们体会到，每一只小猴得到的一定是这盘桃的1/2。有了这样的一个一般化的认识以后我再把它具体化，发现里面是6个桃，那么其中3个是1/2 ，4个桃，其中的两个也是1/2，10个桃其中的5个也是1/2，然后因为答案早就先行了，因此孩子们也就只能默认这里平均分成的每一份里面的，无论是2个、3个、4个、5个都是整个整个桃的1/2。 我觉得我们的老师也是真的动足了脑筋。没有办法，必须要这么曲线救国，因为你不这么去做的话，刚才的那三位同学作品当中所暴露出的这样的一种思维的困境，是我们几乎在教学这个内容的时候没有办法回避。
这样的情况，真的不只是这一份，你看我们随便找个第2个图这里面没有用那个盘子，他直接用一个盒子，但是教学的思路是一模一样的，把一盘桃平均分给两个小猴，每只小猴分了多少？1/2，揭开来，4个、8个、12个、16个，因为答案早就给出了。
我们再来看看，这个是属于把盖子揭开的。通过这个盖子，我们就能感受到，这道题最初是这样，这个盖子有可能一开始是盖在这一盘桃子的上面，然后让孩子得到了1/2以后，老师把盖子揭开，问孩子们，这里涂色的两个红色的桃子是不是也是1/2啊？孩子说：“是的”。白色的呢？“是的”。可是这样的方式真的帮助学生解决了他内心的困惑吗？会不会有学生，在盖子揭开的那一瞬间，它们原有的认知就坍塌掉了呢？这些都是值得我们去思考的问题。 这是给出的第2条路径，曲线救国，先一般再具体。我先把桃子的数量隐藏掉，给出一个抽象的一盘桃，然后再把它慢慢的具体化。 路径3：荆棘之路，直面学生真实困境
如果说刚才的路径1选择的是，轻轻松松往前。通过告知或者先帮助学生轻松的掌握。那么路径是2选的是曲线救国，让你先确定一下1/2的答案。然后接下来再通过给出具体的桃子的个数，让你无处讨论。但是路径3选的是另外一条路，面对难点，不去回避它，也不去绕开它。所谓叫荆棘之路、光荣之路。直面学生的真实困境。 策略1：直面现状，基于真实的思维而展开。
还是回到这样的素材当中，什么意思？既然每个同学都对这个情境给出了不同的答案，你说是2/6，我说是2/3，你说是1/2。我既不忽略你的，我也不忽略他的，每个同学都平等的、真实的带着自己原有的思维来到课堂上，这就叫不回避，直面学生的真实思维。
第一，暴露真实思维。 你看这个老师就非常好，它通过提供这样的学习单，让孩子们把自己最真实的思维暴露出来。我不掩盖，我也不强求你，我就想看看你到底是怎么想的。当然这里说实话我仍然还是比较震惊的，因为毕竟我们孩子已经自学过教材的76页的例一了，如果自学完了以后，孩子依然会存在这样一些错误的想法，那么我们对于如果不去咨询,孩子们头脑里的那种思维的困顿，得抱有多么大的这样的一种感受啊。
第二，引导学生充分对话 每个4人的小组里面，有可能你选择的答案是3/6，我选择的是2/3，你可能选的是1/2。那么每一个同学都带着自己的理解和认识过来，当然有的孩子可能做的是非常清晰的，有的孩子头脑可能是非常模糊的.每个人都努力的把自己的想法，充分的去表达出来，然后我同意你的想法，我不同意你的想法，我的理由是什么？那你的理由是什么？让不同的观点之间展开充分的对话碰撞。 我们中国有句话叫：“真理，越辨越明。”就算真理没办法通过讨论达到某一种统一，但至少大家对于每个同学为什么选择这样的一个答案，他背后选的这个理由，大家会渐渐的越来越清晰，这样的充分对话和交流将为接下来老师的出手，老师的介入，提供一个非常宝贵的前期经验。
第三，回归原点思辨 在学生经历过思维真实的道路以及充分的对话、辩论、讨论以后，我想我们的老师将该出手的时候应该出手了。我们的老师应该引导学生回归原点，展开思路。这里的原点是什么？原点指的是分数的含义。因为在特定的情境当中，究竟该用几分之几表示？实际上它是跟桃子的个数没有关系的。分数它是跟平均分的份数以及表示的份数是有关的。还记得我们在三年级上册，也就是最初学习一个物体或者一个图形的几分之一或者几分之几的时候，我们已经非常清晰的和孩子们建立这样的共识。1/2，这里的2不是表示两个也不是表示两块，它表示的是什么？是2份 。这里的1，它表示的也不是1个，那也不是1块也不是1批，它表示的是1份。因此1/2很清楚表示的是把一个东西平均分成了两份，表示这样1份，就叫1/2。 既然分数的含义指的是平均分成若干份以后的一份或几份。那我们回到今天的情境当中来，看把这些桃平均分给两只小猴，应该说3号同学和2号同学，他们的分法都是正确的。那接下来每只小猴分得这盘桃的几分之几？你既然问我的是几分之几，那我就得根据分数的含义去思考。平均分成了几份？两份，每只小猴拿到了这样的几份？注意，每只小猴拿到的是这样的几份？而不是几个？这里的3个是1份，因此我们说6个桃看作一个整体平均分成了2份，每只小猴拿到的这3个，正好相当于其中1份，2等份中的1份，答案当然就应该是1/2。那左边的这3个桃能不能用3/6表示？可以，关键看你怎们分。如果我们把它平均分成6份，而其中的3份.当然是占这些桃的3/6，但是这已经不再是这个问题，而已经转化了另外一个问题了，所以我想这里所说的策略1是什么？就是直面现状，基于真实的思维而展开。 策略2：结构重组，基于整体框架进行 结构重组（1个物体，1些物体，几分之一、几分之几）
这里面有可能会涉及到整个教材的体例的一些调整，我们的想法是什么？对整个分数的初步认识进行重组。这里面不光是要把三下和三上整合在一起，也不完全是按照北师版的一个教材来进行，我们是从心理学的角度来说，初步认识1/2的时候，我们既要引导学生去认识一个物体，它的1/2。也要认识一些物体组成的整体，它的1/2。既要去认识几分之一，也要认识几分之几。一句话就是我们一开始就应该从份数这个角度切入，无论你是一个物体还是一些物体组成的整体，我们可以尝试把它整合在一起展开教学。我们形成的大的观念是什么？我不管你是一个物体，还是一些物体组成的成体，还是一个剂量单位，当然还是一条线段，我只在乎的是你把这个对象平均分成了几份？涂色的那一部分到底相当于平均分成的若干份以后的几份？如果你平均分成了3份，涂色的是其中的一份，不管原来一共多少个，不管这一份里面是多少？答案就是1/3，因为这本身就是1/3的原初的含义。 通过这样的结构的重组，我们带来的是什么？实际上带来的就是分数的初步认识，让它的外延变得足够的丰富。所谓的外延，我前面提到了，就是1/2，它的外延应该是一个饼它的1/2。然后两个饼组成的整体它的1/2。还有8个饼组成个整体的1/2。这些其实都是1/2，这个数学概念的外延。我们在进行教学的时候，我们不能只把这个概念的外延的一部分作为教材的重点，把另一些分成重要的部分，就这里所说的就是一些物体组成的整体，这样一个几分之一，这样的外延搁置在一边，或者说到三年下册再去面对。那这样的话，其实是就是在一开始的时候，学生建立的这个分数的概念，它就是有残缺的、有缺陷的。然后等到这样的残缺的缺陷已经固化为一种认知以后，你到了三年级下册的时候，再来挑战一些物体的几分之一，几分之几，孩子们一定是会面临的新的困难，这是第1点。 强化内涵（分母、平均分的份数、分子。表示这样的几份）
第三板块：要点回顾
刚才从两大部分把分数的初步认识、一些物体组成的整体。它的几分之一，它的几分之一或者几分之几的教学和大家做了梳理。我们主要分成了两大板块，第一板块我们主要探析了教材的这个任或者这个学习知识点的这个难处以及它到底难在何方？接下来面对这样的一个困境，我们到底该如何去解决问题。 我们从三个方面展开：一、教材之路，它通过了告知或者类别的方式，帮助学生实现这个原来的一个物体的几分之一，几分之几，像一些物理组成的整体来进行进一步进行分析进行了迁移。这样的一条路径，有可能会一概学生真实的一些思维困境。 同样的路径二，所谓的曲线救国，先一般再具体通过不告诉你这盘桃有多少个。我先把它盖着，让你得出结果以后再告诉你这盘桃的个数，然后在这个过程当中，帮助学生实现知识的障碍，但是这背后也是有可能存在学生的相应的一些认知的方面和困境。 最后我们给出的第三条路也就是荆棘之路，我们希望我们的教学可以不用害怕学生存在的困难，我们可以直面学生真实的困境，可以让学生通过学习单把自己真实的思维给暴露出来，让大家进行碰撞对话，就能实现知识的架构。 当然这是其中的一种思路，还有一种思路是什么呢？我们可以通过对教材内容的重新组合和整合，然后让我们的教学能够更加顺利学生认识分数的一般规律，包括强化分数的份数，要为孩子做个更好的理解和掌握分数的含义。 02  学习感悟 近期反复学习了张齐华老师《难点：易“破”不易“避”--以认识分数（二）教学为例》的讲座，让我如浴春风，如淋春雨，感受着名师名课的独特魅力，欣赏着名师课堂教学的独到设计，反思着自己日常教学的不足之处，真是受益匪浅。 三年级学生学习“分数的初步认识”时，通常要经历两个阶段:第一个阶段，把一个物体或一个图形平均分成若干份，其中的一份或几份可以用分数表示;第二个阶段，把一些物体看作一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份可以用分数表示。 分数的初步认识（二）学生在三年级上册已经认识了一个物体或一个图形的几分之一和几分之几，认识一个整体的几分之一是对分数含义的进一步丰富，同时为今后抽象出分数的意义、理解分数的性质奠定基础。对于学生来说，理解一个物体的几分之一比较容易，但理解一个整体的几分之一却有一定难度。这是因为把一个整体平均分之后，分数表示的仅仅是部分与整体的关系，其表达形式与一份的实际数量完全不同，学生原有的认知经验会对其用分数表示平均分的结果造成干扰。 如何实现认知的突围和生长？瑞士心理学家皮亚杰的认知发展理论中有两个重要的概念：同化和顺应。学生学习一个物体的几分之一，是概念同化的过程，而学习一个整体的几分之一，则要经历概念顺应的过程。在我们的教学中可以设计丰富的操作与思辨活动，让学生经历同化、顺应的过程，从而对分数概念的理解逐步加深，对数学思考的表达拾级而上，顺利实现从具体到抽象的意义建构，为将来进一步抽象分数的意义提供有力的支持。 张齐华老师结合人教版、北师大版、苏教版三个不同版本的教材，详细地阐述了不同版本的教材是如何呈现教学的素材及编排思路。通过不同版本的对比，张齐华老师和大家一起讨论了在学生学习的过程中，学生会遇到的疑惑。明明应该是每只小猴分得了这盘桃的1/2，可是这位同学选择的偏偏是3/6。1/2和3/6，到底哪一个才是正确的？等等一系列的问题。在本次讲课中，张齐华老师给出了三条路径：路径一，教材之路，告知或是类比。路径二，曲线救国，先一般再具体。路径三，荆棘之路，直面学生真实困境。三条路径很好的让我们知道在遇到教学难点时如何破而不是避而求其次。 从张齐华老师的讲座上，我可以强烈地感受到：教学与生活实际紧密联系，既让学生感受到了数学学习的价值，又激发了学生的数学探索兴趣和求知欲望；我们还可以清楚地看到：教师是学习活动的组织者，是一个积极的鼓动者和参与者，是为学生营造一个宽松和谐、自由民主的新课堂的创造者；从张齐华老师的讲座上，我更深刻地体会到：“探索是教学的生命线。”教师应注意培养学生的问题意识，让学生在一个个问题意识、一个个问题的生成和解决过程中研究探索数学问题，体验分享探索成果。这样的教学，从学生的发展来说，是潜能的开发、个性和主体性的彰显；从师生共同生命历程的角度来说，是经验的共享、视界的融合。 来源：曹宁宁名师工作室 |
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