余弦定理的无字证明和简证

余弦定理是揭示三角形边、角之间定量关系的重要定理,它将三角形的边和角有机的结合起来,是解决有关三角形问题的有力工具。有了余弦定理，求边求角求射影都很方便。那么，余弦定理怎么证明呢？

接下来我们先介绍几个无字证明，再看一个简单证明。

第一个无字证明。图很漂亮，让人想起欧几里得证明勾股定理的图形。这张图含蓄有韵味，请大家细品。

这张图就浅显直白，观众不费脑。就像白居易的诗，老妪能解。图形标注很清楚，一下子就把余弦定理和盘托出。

由射影定理可知，三角形ABC的三边被三个垂足分为两段，即：

a=c·cosB + b·cosC

b=c·cosA + a·cosC

c=b·cosA +a·cosB

我们设底边为a，两条腰是b和c，那么等式①的意思是：两腰在底边上的射影之和等于底边。

三边上的三条高线把三个正方形划分为六个矩形，这六个矩形颜色相同的面积相等，也就证明了图形写出来的余弦定理。

把上面的三个等式两边同时乘以a（或左边的b或c）即得：

a²=ac·cosB + ab·cosC

b²=bc·cosA + ba·cosC

c²=cb·cosA +ca·cosB

等式的左边是三个正方形的面积，右边就是六个矩形的面积。

这个无字证明可谓直截了当，不留余地。

再看两个无字证明。

这张图所示是钝角三角形的情形。

这张图来自微博，构思巧妙，不易想到。上方小三角形是原三角形，放大a，b，c倍后，拼成下面的图形。

图形是以角A的主观镜头的方式来呈现的，所以标注了角A，角B和角C是配角，所以分别用叉和圈来标注。图上可以直观得到余弦定理，所以称为无字证明。

顺便说一下，矩形一条边长为b²+c²，另外一边长为bc sin A。

最后，我们来看一个余弦定理的简单证明。如图所示，可以用勾股定理和三角函数的概念来简证余弦定理。

由勾股定理可得：

a²=(c-bcosA)²+(bsinA)²

=c²-2bccosA+b²cos²A+b²sin²A

=c²-2bccosA+b²(cos²A+sin²A)

=c²+b²-2bccosA

这个证明通俗易懂，容易被学生接受。顺便说一下，上面的图很漂亮，下面这个图更简单，但是也足以说明问题了。

把上面的证明原封不动的照抄一遍，就证明了余弦定理。

欧拉对近代三角学的发展作出了杰出的贡献。他创用大写字母A，B，C表示三角形的三个角，小写字母a，b，c表示三个角的对边，现在早已经成为数学世界人人遵守的规定。他引入坐标系中的单位圆，用半径和函数线的比定义三角函数。欧拉的定义极为科学，并大大简化了三角公式，极大地促进了三角学的发展。

根据欧拉的定义，半径在x轴的射影是cos α，在y轴的射影是sin α，由勾股定理可得：

sin² α + cos² α =1

这是一个非常重要的三角恒等式，α为任意实数都成立。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。