|
数学在西方源自古希腊语μ＇αθημα(máthēma)，具有学习、学问、科学及数学研究的含义， 其形容词 μαθηματικòζ(mathēmatikós) 意为和学习有关的或用功的，亦用来指数学的。其在英语中的复数形式，及在法语中的复数形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数mathematica，由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικ＇α(ta mathēmatiká)，此被亚里士多德指“万物皆数”的概念。 在古希腊，数学曾是四门学科，即算术、几何、天文学和音乐的总称，其学科地位高于语法、修辞和辩证法等学科。与西方“四道”相辉映的是中国古代的“六艺”，“礼、乐、射、御、书、数”之中的“数”就是数学。算学和数学的称谓在我国一直并用了几百年，直至1939年8月教育部决定用“数学”而废“算学”，通令全国一律使用“数学”术语，并以此为mathematics的译名。 数学科学的基本要素是:逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。虽然不同的传统学派强调不同的侧面，然而正是这些对立力量的相互作用及其综合努力，才构成了数学科学的永恒生命力、广泛适用性和崇高文化价值。 数学观伴随着数学的萌芽而产生，伴随着数学的发展而演化。因而数学观是个历史范畴，每个时代对数学的认识都有所不同。一般认为，数学科学的发展可分为五个阶段: (1)数学萌芽时期(公元前6世纪前); (2)初等数学时期(公元前6世纪～16世纪); (3)变量数学时期(17世纪～18世纪); (4)近代数学时期(1820～1940); (5)现代数学时期(1950～现在)。 当代数学观是人类几千年文明发展的必然结果。自诞生以来，数学的内涵发生了巨大变化，据不完全统计数学已有过200余种定义。对数学的看法不一，既有赖于时代的发展也因人们看问题的角度及对数学理解的层次有异。 公元前6世纪前，数学主要是关于“数”的研究。毕达哥拉斯学派的基本信条就是“万物皆数”，但当时“数”仅限于有理数。从公元前6世纪始，数学是对“数”和“形”的研究。公元前4世纪希腊哲学家亚里士多德所给数学定义为:数学是量的科学。这里的量也不能理解为今天的数量。 5至12世纪，北非希波主教圣·奥古斯丁的神学体系在西欧基督教会中占统治地位。他认为:“好基督徒应提防数学家和那些空头许诺的人。这样的危险已存在，数学家已与魔鬼签订了协约，要使精神进入黑暗，把人投入地狱。”古罗马法官则裁决“对于作恶者、数学家诸如此类的人”，应禁止其“学习几何技艺和参加当众运算像数学这样可恶的学问”。 16世纪，英国哲学家培根将数学分成“纯粹数学”和“应用数学”。给纯粹数学的定义为:处理完全与物质和自然哲学公理相脱离的量的科学。 17世纪，算术、代数和几何在解析几何中得到统一。数可被映射为图形上的点，而图形可转变成方程。正是这种解析手段打开了通向一大批高等数学学科的道路。故解析几何的奠基者笛卡儿认为:凡是以研究顺序和度量为目的的科学都与数学有关。 在莱布尼茨看来，数学是聪明人和有志者的事业，即使其数学基础知识很少，或者对数学细节尚未了解，但只要有远大目标和足够才智，则他血液中就具备了数学，就可以在数学上取得良好的进展。这也许是对他自己数学研究的真实写照。 微积分的创立，使数学成为研究数、形以及运动和变化的学问，但运动和变化的数学描述还是离不开数与形。19世纪恩格斯所给数学定义为:数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。 切比雪夫是圣彼得堡数学学派的奠基者，其典型的研究方式是侧重于理论与实践相结合，在实际问题中不断开拓数学的研究领域，并从中寻找普遍的方法。对于数学的发展，切比雪夫有着独到见解:“原来的数学发展有两个阶段:第一阶段是由神创立的，像德洛斯祭坛的故事就说明如此;第二阶段是由半人半神建立的，费马和帕斯卡就是这样的怪物。现在数学发展进入了第三个阶段，数学完全由社会实际需要所创立。” 作为切比雪夫弟子的马尔可夫，以从事数学教学和研究而骄傲。曾有人向他请教数学的定义，他毫不掩饰地说:“数学，那就是高斯、切比雪夫、李雅普诺夫、斯捷克洛夫和我所研究的东西。”正是马尔可夫对数学的酷爱和痴爱之情深深地感染了学生，激发了学生对数学的学习兴趣。在一次概率论课上，马尔可夫的开场白为:“我获悉喀山数学会提出研究课题:概率论的公理化基础。现在我们就开始着手干吧。” 数学能够医治病痛，这也许听来滑稽，但却有其事。捷克斯洛伐克的数学家波尔查诺记述了自己的亲身经历:有次我在布拉格度假时，突感浑身发冷，疼痛难忍。为分散注意力，我拿起了欧几里得的《原本》，第一次阅读第五卷中欧多克斯关于比例理论的精彩论述。这种高明的处理方法使我无比兴奋，以至于从病痛中完全解脱了。 随着数学家开发的领域扩展到群论、统计学、最优化和控制理论之中，数学的历史边界已经完全消失，从这个广泛背景观察，数学不只是讨论数与形，而且还讨论各种类型的模式和次序。希尔伯特认为:数学是处理无限的科学。他相信一切数学概念最后都会协调一致，其信条是:数学的任何问题最终要么有个真正解答，要么被证明不可能求解。 集合论的创立者康托尔提出:“数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维。就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系。” 19世纪中叶后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构(群，环，域……)、序结构(偏序，全序……)和拓扑结构(邻域，极限，连通性，维数……)这三种母结构之上。布尔巴基学派认为:数学，至少纯粹数学，是研究抽象结构的理论。 博雷尔认为:“数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定是否正确的唯一科学。”这里博雷尔强调了数学的绝对真理性。 几乎与博雷尔相对，罗素在20世纪初这样定义数学:“纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题对同样这些事物也成立。这里既不管第一个命题是否确实成立，也不管使命题成立的那些事物究竟是什么。只要假定是关于一般的事物，而不是某些特殊的事物，那么我们的推理就构成为数学。这样，数学可定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。” 按罗素的数学定义，数学已达到如此玄妙境界:任一给定前提的真或假已不起作用，重要的是如何从前提推导到结论。利用这一准则，数学家可以声言，月球是用青青的干奶酪造成的。再通过一系列更进一步的前提，他可以令人信服地论证，并最后得出结论，登月者应当带点脆饼干去。 罗素还认为:“数学不仅拥有真理，且拥有至高无上的美:一种冷峻严肃的美，即就像是一尊雕塑。这种美没有绘画或音乐那样华丽的装饰，它可以纯洁到崇高的程度，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境界。”罗素11岁开始学习欧几里得几何学，他感到学习数学就像初恋一样令人陶醉，从来没有想象到世界上还有如此美妙的东西。 1941年柯朗认为:“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，其基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。” 1950年代，前苏联数学家提出:“现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学。” 这里的“量”显然和亚里士多德的“量”含义不同:不仅包括现实世界的各种空间形式与数量关系，而且包括了一切可能的空间形式和数量关系。格涅坚科认为，数学现已成为认识世界的强有力工具，成为社会生产力。及时正确的应用数学方法可使我们建立相关定量理论，预测我们感兴趣的事件，选择解决问题的最佳方案。数学理论的价值和生命力不是其结构如何优美，而是其同社会实际问题有多少深入和牢固地联系。 1980年代美国学者提出:“'数学’这个领域已被称作模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。” 春有花开，夏有惊雷，秋收冬藏，四季循环往复;球形的雨从云中飘落;繁星夜夜周而复始地从天空中划过;世界上没有两片完全相同的雪花，但所有雪花都是六角形……我们生活在由诸多模式组成的世界中。在这个定义中，“模式”代替了“量”，而所谓的“模式”有着极广泛的内涵，包括了数的模式，形的模式，运动与变化的模式，推理与通信的模式，行为的模式等。这些模式可以是现实的，也可以是想象的，可以是定量的，也可以是定性的。 我国当代学者也提出了一些数学定义。 陈省身认为，大致说来，数学和其他科学一样，其发展基于两个原因:奇怪的现象和数学结果的应用。数学把“奥妙变为常识，复杂变为简单”。他说，“数学研究与其他科学相比，其显著的特点就是向多方面发展”。 吴文俊认为，数学这门基础学科已经越来越深入地渗透进各个领域，成为各种科学、技术和生产以至日常生活所不能缺少的有力武器。在现代科学技术中，如果不借助数学，不与数学发生关系就不可能达到应有的精确性和可靠性。 钱学森认为，数学是社会科学和自然科学的基础。哲学是社会科学和自然科学的概括。 齐民友认为，数学的生长像竹子，根在大地，然后自己一节一节向上长，间或爆出新笋，长成新竹。若干年后，竹子开花，结成种子，重回大地。 方延明认为，数学是研究现实世界中数与形之间各种形式模型的结构的一门科学。 徐利治认为，数学是“实在世界的最一般的量与空间形式的科学，同时又作为实在世界中最具特殊性、实践性及多样性的量与空间形式的科学”。 高隆昌和胡勋玉认为，能对大自然中任意对象予以符号化、量化和形式语言化，从而进行逻辑演算，以揭示大自然规律的科学称之数学。 纵观数学发展，人类首先认识的是确定性现象，早在2000多年前就开始建立“精确数学”;随着对随机性现象的研究，400多年前开始建立“随机数学”;而认识模糊性现象是近30余年的事，在电子计算机的帮助下开始建立“模糊数学”。粗略地说，推动数学科学前进的主要力量有:社会生产力的发展、数学内部矛盾的激化和数学家的不懈努力等。数学不是任何一个历史时代、任何一个民族的产物，而是若干时代，多个民族的共同产物。正是经过4000余年世界各民族的共同努力，数学科学方从涓涓细流，而不断汇聚各路支流，终成今日汹涌澎湃之势。 数学最显著特点是体系的严谨性，它要求每个概念都要给出明确定义，但“数学”本身却无法给出十全十美、无懈可击的定义，其根本原因是由于数学科学还在不断的发展。其他许多基础学科也是如此，如“科学”至今也无法给出完美无缺的定义。有时过分苛刻的定义会成为事物发展的桎梏，故我们不必追求过分严密的数学定义而应给其留有发展空间。正如美籍波兰学者塔斯基所说:“对于足够丰富的数学科学系统来说，要给出真理的令人满意的定义是不可能的，但在较小范围内这种定义是可能的。” |
|
|
来自： taotao_2016 > 《数学》
