《算术与几何的妙趣》水仙花数

b 进制下的水仙花数是其所有 k 位数字的 k 次方和等于其本身的数字。数字 153 就是十进制下的水仙花数，它的三位数满足： 153=1³+5³+3³。十进制下，仅存在另外三个三位数的水仙花数：370 = 3³ + 7³ + 0³、371 = 3³ + 7³ + 1³、407 = 4³ + 0³ + 7³。

在给定的进制下，只有有限数量的水仙花数。其实，在 b 进制下， 一个 k 位数的各位数字 k 次方和小于 k(b-1)^k。若 k 足够大，则 k(b-1)^k<b^k-1，于是一旦满足该不等式，b 进制下的任何水仙花数都不能包含超过 k 位数。温特在 1985 年证明在十进制下有 88 个水仙花数，其中最大的有 39 位数，是 11 513 221 901 876 399 256 509 559 797 397 522 401。

通过编程找到这个结果需要一些技巧，因为即使最强大的计算机或计算机网络，也无法验算直到 10⁶⁰ 的所有数字（根据之前的推理，10⁶⁰ 是一个界限，之后不可能再有水仙花数）。

下面是有 1、3、……10 位数字的水仙花数数列：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；153、370、371、407；1634、8208、9474；54 748、92 727、93 084；548 834；1 741 725、4 210 818、9 800 817、9 926 315；24 678 050、24 678 051、88 593 477；146 511 208、472 335 975、534 494 836、912 985 153；4 679 307 774。

英国数学家戈弗雷·哈代（1877—1947）在其著作《一个数学家的辩白》（A Mathematician's Apology）中明确表达了自己对水仙花数的看法，他认为这种数字毫无意义：“只有四个大于 1 的数字等于其各位数字的立方和。这的确很奇特，适合开个问题专栏，让业余爱好者消磨时光，但这类数字本身并没有任何让数学家感兴趣之处。”

很难理解，为什么一些奇特的问题会遭到如此蔑视，而另一些更荒谬的算术问题却令一代一代的数学家倾注心血，比如费马大定理，几个世纪以来耗费了人们那么多精力，直到 1995 年才被安德鲁·威尔斯解答。谁能断定，阐明水仙花数或其他问题的理论就不能像费马大定理衍生出的那些理论一样美妙而富有应用潜力呢？（让·保罗·德拉耶）

6. 平方根水仙花数

我们重新审视一下好傅利曼数的定义。普通傅利曼数的表达式中用的是仅由该数所包含的数字不重复组合而成的整数。

这些数字通过加、减、乘、除、整数次方这五种算术运算组合。

在好傅利曼数中，运算还要按照数字原本出现的顺序进行。

水仙花数在傅利曼数允许的五种运算之外又加上了平方根运算()。

科林 · 罗斯研究了那些必须用到平方根号的数字（其实尚不属于好傅利曼数一类），将其称为“平方根水仙花数”。它们数量有限（参见附图），10 000以内只有12个。