数学高考真题 知识总结 方法总结 题型突破！（专题09　三角函数的图象与性质问题)

专题09　三角函数的图象与性质问题

【高考真题】

1．(2022·北京)已知函数f(x)＝cos²x－sin²x，则(　　)

A．f(x)在(－，－)上单调递减　　　　　　  　　B．f(x)在(－，)上单调递增

C．f(x)在(0，)上单调递减　　　　　　　　　　　D．f(x)在(，)上单调递增

1．答案　C　解析　因为f(x)＝cos²x－sin²x＝cos2x．对于A选项，当－＜x＜－时，－π＜2x＜－，则

f(x)在(－，－)上单调递增，A错；对于B选项，当－＜x＜时，－＜2x＜，则f(x)在(－，)上不单调，B错；对于C选项，当0＜x＜时，0＜2x＜，则f(x)在(0，)上单调递减，C对；对于D选项，当＜x＜时，＜2x＜，则f(x)在(，)上不单调，D错．故选C．

2．(2022·浙江)为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　)

A．向左平移个单位长度　　　　　　　　B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度　　　　　　　　D．向右平移个单位长度

2．答案　D　解析　因为y＝2sin3x＝2sin[3(x－)＋]，所以把函数y＝2sin图象上的所有点向右

平移个单位长度即可得到函数y＝2sin3x的图象．故选D．

3．(2022·全国甲文)将函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y

轴对称，则ω的最小值是(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

3．答案　C　解析　由题意知：曲线C为y＝sin[(ω(x＋)＋]＝sin(ωx＋＋)，又C关于y轴对称，则

ωx＋＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝＋2k，k∈Z，又ω＞0，故当k＝0时，ω的最小值为．故选C．

4．(2022·全国乙理) 记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为T，若f(T)＝，x＝为f(x)

的零点，则ω的最小值为____________．

4．答案　3　解析　因为f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，所以最小正周期T＝，因为f(T)＝cos(ω＋

φ)＝cos(2π＋φ)＝cosφ＝，又0＜φ＜π，所以φ＝，即f(x)＝cos(ωx＋)，又x＝为f(x)的零点，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝3＋9k，k∈Z，因为ω＞0，所以当k＝0时ω_min＝3．故答案为3．

5．(2022·新高考Ⅰ)记函数f(x)＝sin(ωx＋)＋b(ω＞0)，的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关

于点(，2)中心对称，则f()＝(　　)

A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．3

5．答案　A　解析　由函数的最小正周期T满足＜T＜π，得＜＜π，解得2＜ω＜3，又因为函数图

象关于点(，2)对称，所以ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2，所以ω＝－＋k，k∈Z，所以ω＝，f(x)＝sin(x＋)＋2，所以f(x)＝sin(π＋)＋2＝1．故选A．

6．(2022·全国甲理)设函数f(x)＝sin(ωx＋)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是

(　　)

A．[，)　　　　　B．[，)　　　　　C．(，]　　　　　D．(，]

6．答案　C　解析　依题意可得ω＞0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈(，ωπ＋)，使函数在区间(0，π)

恰有三个极值点、两个零点，又y＝sin x，x∈(，3π)的图象如下所示：

则＜ωπ＋≤3π，解得＜ω≤，即ω∈(，]．故选C．

【知识总结】

1．三种三角函数的图象和性质

		正弦函数y＝sin x	余弦函数y＝cos x	正切函数y＝tan x
图象
定义域		R	R	{x|x≠＋kπ，k∈Z}
值域		[－1,1] (有界性)	[－1,1] (有界性)	R
零点		{x|x＝kπ，k∈Z}	{x|x＝＋kπ，k∈Z}	{x|x＝kπ，k∈Z}
最小正周期		2π	2π	π
奇偶性		奇函数	偶函数	奇函数
单调性	增区间	，(k∈Z)	[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)	，(k∈Z)
	减区间	(k∈Z)	[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)
对称性	对称轴	x＝＋kπ(k∈Z)	x＝kπ(k∈Z)
	对称 中心	(kπ，0)(k∈Z)	(k∈Z)	(k∈Z)

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象

(1)“五点法”作图

设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．

(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．

(3)图象变换

y＝sin x向左(φ>0(或向右(φ<0(平移|φ|个单位长度y＝sin(x＋φ)

横坐标变为原来的\f(1,ωω>0y＝sin(ωx＋φ)

纵坐标变为原来的A(A>0(倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．

【同类问题】

题型一　三角函数的性质

1．(2017·山东)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．π　　　　　　　　D．2π

1．答案　C　解析　∵y＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴最小正周期T＝＝π．

2．函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是(　　)

A．　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2π

2．答案　B　解析　法一：∵f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sin x)＝4

＝4sincos＝2sin，∴T＝＝π．

法二：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)＝3sin xcos x＋cos²x－sin²x－sin xcosx＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，∴T＝＝π．故选B．

3．(2018·全国Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)

A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．π　　　　　　　　D．2π

3．答案　C　解析　由已知得f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的

最小正周期为T＝＝π．

4．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为2π，则f(x)的单调递增区间是(　　)

A．(k∈Z)　　　　　　　　B.(k∈Z)

C．(k∈Z)　　　　　　　　D.(k∈Z)

4．答案　B　解析　法一：因为f(x)＝2＝2sin ，f(x)的最小正周期为2π，所

以ω＝＝1，所以f(x)＝2sin，由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．故选B．

法二：因为f(x)＝2＝－2cos，f(x)的最小正周期为2π，所以ω＝＝1，所以f(x)＝－2cos，由2kπ≤x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故选B．

5．(2018·全国Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．π

5．答案　A　解析　f(x)＝cosx－sinx＝cos在上单调递减，所以[－a，a]⊆，

故－a≥－且a≤，解得0<a≤．

6．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，f()＋f()＝0，且f(x)在区间(，)上递减，则ω＝(　　)

A．3　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．6　　　　　　　　D．5

6．答案　B　解析　∵f(x)＝2sin(ωx＋)，f()＋f()＝0．∴当x＝＝时，f(x)＝0．∴ω＋＝

kπ，k∈Z，∴ω＝3k－1，k∈Z，排除A，C；又f(x)在(，)上递减，把ω＝2，ω＝5代入验证，可知ω＝2．

7．(2019·全国Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cosx的最小值为________．

7．答案　－4　解析　因为f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos²x－3cos x＋1，令t＝cos x，

则t∈[－1，1]，所以f(x)＝－2t²－3t＋1．又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1，1]，且开口向下，所以当t＝1时，f(x)有最小值－4．

8．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝sin²x＋cos x－的最大值是________．

8．答案　1　解析　依题意，f(x)＝sin²x＋cos x－＝－cos²x＋cos x＋＝－²＋1，因为x

∈，所以cos x∈[0,1]，因此当cos x＝时，f(x)_max＝1．

9．(2013·全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ＝________.

9．答案　－　解析　f(x)＝sin x－2cos x＝ ＝sin (x－φ)，其中sin φ＝，

cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时函数f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－．

10．已知ω>0，函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos²ωx－的最小正周期为π，则下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称

B．函数f(x)在区间上单调递增

C．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得函数g(x)＝cos2x的图象

D．当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－

10．答案　D　解析　因为f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos²ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，所以

T＝＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝sin．对于A，因为f＝0，所以不正确；对于B，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上单调递减，故不正确；对于C，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数y＝f＝sin＝sin 2x，所以不正确；对于D，当x∈时，2x＋∈，所以f(x)∈，故正确．故选D．

题型二　三角函数的图象变换

11．(2021·全国乙)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向

右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　)

A．sin　　　　B．sin　　　　C．sin　　　　D．sin

11．答案　B　解析　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横

坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝siny＝sin的图象f(x)＝sin的图象．

12．(2016·四川)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点(　　)

A．向左平行移动个单位长度　　　　　　　　B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动个单位长度　　　　　　　　D．向右平行移动个单位长度

12．答案　D　解析　∵y＝sin＝sin，∴将函数y＝sin 2x的图象向右平行移动个单位长

度，可得y＝sin的图象．

13．(2017·全国Ⅰ)已知曲线C₁：y＝cos x，C₂：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)

A．把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C₂

B．把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C₂

C．把C₁上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C₂

D．把C₁上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C₂

13．答案　D　解析　易知C₁：y＝cos x＝sin，把曲线C₁上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵

坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C₂．

14．(2018·天津)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)

A．在区间上单调递增　　　　　　　　B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增　　　　　　　　D．在区间上单调递减

14．答案　A　解析　将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝

sin＝sin 2x，则函数y＝sin 2x的一个单调递增区间为，一个单调递减区间为．由此可判断选项A正确．

15．函数y＝sin 2x－cos 2x的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)

为偶函数，则φ的值为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

15．答案　B　解析　由题意知y＝sin 2x－cos 2x＝2sin，其图象向右平移φ个单位长度后，

得到函数g(x)＝2sin的图象，因为g(x)为偶函数，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋，k∈Z，又因为φ∈，所以φ＝．

15．将函数f(x)＝tan(0<ω<10)的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，则ω＝(　　)

A．9　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．8

15．答案　B　解析　函数f(x)＝tan的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式

为y＝tan＝tan，∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合，∴－＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝－6k，k∈Z．又∵0<ω<10，∴ω＝6．

17．若函数f(x)＝cos，为了得到函数g(x)＝sin2x的图象，则只需将f(x)的图象(　　)

A．向右平移个单位长度　　　　　　　　　　B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度　　　　　　　　　　D．向左平移个单位长度

17．答案　A　解析　函数f(x)＝cos＝sin＝sin，为了得到函数g(x)＝sin 2x的图

象，则只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可．故选A．

18．(2019·天津)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝

f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g＝，则f＝(　　)

A．－2　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2

18．答案　C　解析　由f(x)为奇函数可得φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝0，所以g(x)＝Asinωx．由g(x)

的最小正周期为2π，可得＝2π，故ω＝2，g(x)＝Asin x．g＝Asin＝，所以A＝2，所以f(x)＝2sin 2x，故f＝2sin ＝．

19．(2016·全国)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)

A．x＝－(k∈Z)　　B．x＝＋(k∈Z)　　C．x＝－(k∈Z)　　D．x＝＋(k∈Z)

19．答案　B　解析　将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin ＝

2sin的图象．由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．

20．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得

到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)(　　)

A．最小正周期为π，最大值为2　　　　　　　B．最小正周期为π，图象关于点中心对称

C．最小正周期为π，图象关于直线x＝对称　　D．最小正周期为π，在区间上单调递减

20．答案　D　解析　对于g(x)，由题图可知，A＝2，T＝4＝，∴ω＝＝3．则g(x)＝2sin(3x

＋φ)，又由g＝2可得φ＝－＋2kπ，k∈Z，而|φ|<，∴φ＝－．∴g(x)＝2sin，∴f(x)＝2sin．∴f(x)的最小正周期为π，选项A、C错误．对于选项B，令2x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝－，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，所以选项B是错误的；当x∈时，2x＋∈，所以f(x)在上是减函数，所以选项D正确．故选D．

题型三　关于ω的取值范围

21．已知函数在上单调递增，则的取值范围是　　

A．，　　　　　　B．，　　　　　　C．　　　　　　D．

21．答案　C　解析　函数在上单调递增，，求得，故

选D．

22．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在

上单调递减，则的最大值为　　

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．1

22．答案　C　解析　将的图象向右平移个单位长度后得到

的图象．因为，所以，因为在上单调递减，所以，，即，所以，的最大值为，故选B．

23．函数图象向右平移个单位后所得函数图象与函数的图象关于轴对称，

则最小值为　　

A．2　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．6

23．答案　C　解析　函数图象向右平移个单位后所得函数图象与函数的

图象关于轴对称，由题意知，得，，，因为，因此最小值为4．故选C．

24．已知函数，，，，且函数在区

间上单调，则的最大值为　　

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

24．答案　C　解析　函数，，，

，①，，的图象关于直线对称．②，由①②得：，，由于：，故：，当函数为单调减函数时，，，整理得，由于函数在区间上单调，当时，故；解得：，只有选项在的范围内．故选C．

25．已知函数，，若，，在上单调递减，那么

的取值个数是　　

A．2019　　　　　　　　B．2020　　　　　　　　C．2021　　　　　　　　D．2022

25．答案　C　解析　设函数的周期为，因为在上单调递减，则

，即，又，，设，则，解得，所以有2020个，则的取值有2020个．故选B．

26．已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围

为　　

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　　D．

26．答案　C　解析　时，可得：，．要是函数有且只有两个零点，

则，解得：．故选B．

27．已知函数，若函数在，上有且只有三个

零点，则的取值范围为　　

A．，　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

27．答案　A　解析　

，由得，即，得，，，则，，要使，在上有三个根，，得，即，即的取值范围是，，故选A．

28．已知函数在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则实数的

取值范围为　　

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

28．答案　B　解析　函数．令：，所以

，在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则：函数恰有一个最大值点和一个最小值点在区间，则：，解得：，即：．故选B．

29．已知函数在区间上恰有1个最大值点和1个最小值点，

则的取值范围是　　

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

29．答案　B　解析　

，．，，，在上恰有1个最大值点和一个最小值点，，，故选B．

30．已知函数在，上恰有6个零点，则的取值范围是

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

30．答案　B　解析　

当时，；当时，．因为在，上恰有6个零点，且，所以，解得．故选A．