肖博数学小题专练·(七) 三角函数的图象与性质 一、选择题 1.下列函数中,最小正周期为 π 且图象关于原点对称的函数是 ( ) A.y=cos 2x+ π 2 B.y=sin 2x+ π 2 C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx 答案 A 解析 y=cos 2x+ π 2 =-sin2x,最小正周期 T= 2π 2 =π,且为奇 函数,其图象关于原点对称,故 A 正确;y=sin 2x+ π 2 =cos2x,最 小正周期为 π,且为偶函数,其图象关于 y 轴对称,故 B 不正确;C、 D 均为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,故 C、D 不正确。 2.(2017·海南联考)已知 f(x)=2sin 2x+ π 6 ,若将它的图象向右平 移 π 6个单位长度,得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)图象的一条对称 轴的方程为( ) A.x= π 3 B.x= π 4 C.x= π 6 D.x= π 12 答案 A 解析 f(x)=2sin 2x+ π 6 ,若将它的图象向右平移π 6个单位长度, 得到函数 g(x)=2sin 2 x- π 6 + π 6 =2sin 2x- π 6 的图象,令 2x- π 6=kπ + π 2,k∈Z,求得 x= kπ 2 + π 3,故函数的图象的一条对称轴的方程为 x 2 = π 3,故选 A。 3.(2017·全国卷Ⅲ)函数 f(x)= 1 5 sin x+ π 3 +cos x- π 6 的最大值为 ( ) A. 6 5 B.1 C. 3 5 D. 1 5 答案 A 解析 因为 cos x- π 6 =cos x+ π 3 - π 2 =sin x+ π 3 ,所以 f(x)= 6 5 sin x+ π 3 ,于是 f(x)的最大值为6 5,故选 A。 4.若 f(x)=sin(2x+φ)+b,对任意实数 x 都有 f x+ π 3 =f(-x), f 2π 3 =-1,则实数 b 的值为( ) A.-2 或 0 B.0 或 1 C.±1 D.±2 答案 A 解析 由 f x+ π 3 =f(-x)可得 f(x)的图象关于直线 x= π 6对称,∴ 2× π 6+φ= π 2+kπ,k∈Z。当直线 x= π 6经过最高点时,取 φ= π 6;当直 线 x= π 6经过最低点时,取 φ=- 5 6 π。若 f(x)=sin 2x+ π 6 +b,由 f 2 3 π = -1,得 b=0;若 f(x)=sin 2x- 5 6 π +b,由 f 2 3 π =-1,得 b=-2。 所以 b=-2 或 b=0。 5.将函数 f(x)=sin 2x+ π 6 的图象向左平移 φ 0<φ≤ π 2 个单位长 度,所得的图象关于 y 轴对称,则 φ=( ) 3 A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 答案 A 解析 将函数 f(x)=sin 2x+ π 6 的图象向左平移 φ 0<φ≤ π 2 个单位 长度,得到的图象所对应的函数解析式为 y=sin 2(x+φ)+ π 6 = sin 2x+2φ+ π 6 ,由题知,该函数是偶函数,则 2φ+ π 6=kπ+ π 2,k∈Z, 又 0<φ≤ π 2,所以 φ= π 6,选项 A 正确。 6.(2017·甘肃兰州一模)函数f(x)=sin(ωx+φ) x∈R,ω>0,|φ|< π 2 的部分图象如图所示,如果 x1+x2= 2π 3 ,那么 f(x1)+f(x2)=( ) A. 3 2 B. 2 2 C.0 D.- 1 2 答案 C 解析 由题图知,T=π,ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ),将 π 3,0 代 入函数,根据 φ 的范围,得 φ= π 3,∴f(x)=sin 2x+ π 3 。∵图象关于 π 3,0 4 中心对称,x1+x2= 2π 3 ,∴x1,x2的中点为π 3,则 f(x1)+f(x2)=0。 7.(2017·哈尔滨一模)已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0),y =f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,则 f(x)的单 调递增区间是( ) A. kπ- π 12,kπ+ 5π 12 ,k∈Z B. kπ+ 5π 12,kπ+ 11π 12 ,k∈Z C. kπ+ π 6,kπ+ 2π 3 ,k∈Z D. kπ- π 3,kπ+ π 6 ,k∈Z 答案 D 解析 因为 f(x)=2sin ωx+ π 6 ,所以最小正周期 T= 2π ω。又由题 设可知 T=π,故 T= 2π ω=π⇒ω=2,故 f(x)=2sin 2x+ π 6 ,其单调递 增区间为 2kπ- π 2≤2x+ π 6≤2kπ+ π 2,即 kπ- π 3≤x≤kπ+ π 6,k∈Z,故 选 D。 8.(2017·安徽宿州一模)将函数 f(x)=3sin 2x- π 4 的图象先向左平 移 π 4个单位长度,再向下平移 4 个单位长度,得到函数 g(x)的图象, 则函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象( ) A.关于点(-2,0)对称 B.关于点(0,-2)对称 C.关于直线 x=-2 对称 D.关于直线 x=0 对称 答案 B 5 解析 将函数 f(x)=3sin 2x- π 4 的图象先向左平移π 4个单位长度, 再 向 下 平 移 4 个 单 位 长 度 , 得 到 函 数 g(x) 的 解 析 式 g(x) = 3sin 2 x+ π 4 - π 4 -4=3sin 2x+ π 4 -4=-3sin -2x- π 4 -4=-f(-x) -4,故两个函数的图象关于点(0,-2)对称,故选 B。 9.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,|φ|< π 2 的最小正周期为 π,且 其图象向右平移π 6个单位后得到函数 g(x)=sinωx 的图象,则函数 f(x) 的图象( ) A.关于直线 x= 5π 12对称 B.关于直线 x= π 12对称 C.关于点 π 12,0 对称 D.关于点 5π 12,0 对称 答案 B 解析 依题意得 T= 2π ω=π,ω=2,f(x)=sin(2x+φ),将 f(x)的图 象向右平移π 6个单位后得到函数 y=sin 2 x- π 6 +φ =sin2x 的图象,因 此 φ- π 3=2kπ,k∈Z,φ=2kπ+ π 3,k∈Z,又|φ|<π 2,因此 φ= π 3,f(x) =sin 2x+ π 3 。f 5π 12 =sin 2× 5π 12+ π 3 =- 1 2,f 5π 12 ≠±1 且 f 5π 12 ≠0,因 此 f(x)的图象不关于直线 x= 5π 12对称,也不关于点 5π 12,0 对称。f π 12 = sin 2× π 12+ π 3 =1,因此 f(x)的图象关于直线 x= π 12对称,故选 B。 6 10.(2017·泉州模拟)已知函数 f(x)=2sin x+φ 2 cos x+φ 2 |φ|< π 2 ,且 对于任意的 x∈R,f(x)≤f π 6 ,则( ) A.f(x)=f(x+π) B.f(x)=f x+ π 2 C.f(x)=f π 3-x D.f(x)=f π 6-x 答案 C 解析 函数 f(x)=2sin x+φ 2 cos x+φ 2 =sin(x+φ) |φ|< π 2 ,若对任意的 x∈R,f(x)≤f π 6 ,则 f π 6 等于函数的最大值,即π 6+φ=2kπ+ π 2 (k∈Z), 则 φ=2kπ+ π 3,k∈Z,又|φ|<π 2,∴φ= π 3,∴f(x)=sin x+ π 3 ,∴f(x)的周 期为 T=2π,A,B 错误;又 f(x)图象的对称轴是 x=kπ+ π 6,k∈Z,C 正确,D 错误。故选 C。 11.(2017·全国卷Ⅰ)函数 y= sin2x 1-cosx 的部分图象大致为( ) 答案 C 解析 因为函数 f(x)= sin2x 1-cosx 的定义域为{x|x≠2kπ,k∈Z},f(- 7 x)= sin(-2x) 1-cos(-x) = -sin2x 1-cosx =-f(x),所以 y= sin2x 1-cosx 为奇函数,其图 象关于原点对称,故排除 B;因为 f π 2 = sinπ 1-cos π 2 =0,f 3π 4 = sin 3π 2 1-cos 3π 4 = -1 1+ 2 2 <0,排除 A;f(π)= sin2π 1-cosπ =0,排除 D。故选 C。 12.(2017·东北三校联考)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω≤12,ω ∈N*,0<φ<π)图象关于 y 轴对称,且在区间 π 4, π 2 上不单调,则 ω 的可 能值有( ) A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个 答案 C 解析 由题知,f(x)为偶函数,f(0)=sinφ=±1,又 0<φ<π,所以 φ= π 2,f(x)=sin ωx+ π 2 =cosωx。令 t=ωx,f(x)=cost,则 y=cost 在 π 4 ω, π 2 ω 上不单调。令 ω=1,y=cost 在 π 4, π 2 是单调减函数,所以 ω≠1;令 ω=2,y=cost 在 π 2,π 是单调减函数,所以 ω≠2;令 ω =3,y=cost 在 3 4 π, 3 2 π 不单调,所以 ω=3 符合题意;令 ω=4,y =cost 在[π,2π]是单调增函数,所以 ω≠4;依次类推,可得当 ω= 5,6,7,…,12 时均符合题意,所以 ω 取 3,5,6,7,8,9,10,11,12 时,f(x) 在 π 4, π 2 上不单调,所以 ω 的可能值有 9 个。 二、填空题 8 13.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)对任意的 x 都有 f π 6+x =f π 6-x , 则 f π 6 =________。 答案 ±2 解析 函数 f(x)=2sin(ωx+φ)对任意的 x 都有 f π 6+x =f π 6-x , 则其对称轴为 x= π 6,所以 f π 6 =±2。 14.函数 y=sin2x 与函数 y=tanωx 有相同的零点,则 y=tanωx 的单调递增区间为____________________。 答案 - π 4+ kπ 2 , π 4+ kπ 2 (k∈Z) 解析 根据题意可知,y=tanωx 的周期为 y=sin2x 的周期的一 半,即 T= 1 2× 2π 2 = π 2,∴ω= π T=2,∴y=tan2x。令-π 2+kπ<2x< π 2+kπ(k ∈Z),得 y=tan2x 的单调递增区间为 - π 4+ kπ 2 , π 4+ kπ 2 (k∈Z)。 15.函数 y=2sin πx 6 - π 3 (0≤x≤9)的最大值与最小值之差为 ________。 答案 2+ 3 解析 因为 0≤x≤9,所以-π 3≤ πx 6 - π 3≤ 7π 6 ,因此当 πx 6 - π 3= π 2时, 函数 y=2sin πx 6 - π 3 取得最大值,即 ymax=2×1=2。当πx 6 - π 3=- π 3时, 函数 y=2sin πx 6 - π 3 取得最小值,即 ymin=2sin - π 3 =- 3,因此 y =2sin πx 6 - π 3 (0≤x≤9)的最大值与最小值之差为 2+ 3。 16.将函数 y=sinx+ 3cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度, 9 再向上平移 1 个单位长度后,所得图象经过点 π 4,1 ,则 φ 的最小值 为________。 答案 7π 12 解析 依题意,将 y=2sin x+ π 3 的图象向右平移 φ 个单位长度得 到曲线 y=2sin x-φ+ π 3 ,再向上平移 1 个单位长度得到曲线 y= 2sin x-φ+ π 3 +1,又该曲线经过点 π 4,1 ,于是有 2sin π 4-φ+ π 3 +1 =1,即 sin 7π 12-φ =0,φ- 7π 12=kπ,k∈Z,φ=kπ+ 7π 12,k∈Z,因此 正数 φ 的最小值是7π 12。 |
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