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大家好，今天给大家分享一个关于三角函数图像变换的专题。 今天讲这个专题有三个元素量：第一个是初始函数，第二个是变换过程，第三个是目标函数。这三个元素量组合成三种题型，它是知二求一，就是说任意两个是已知的，让你求第三个。所说它分三个题型： ①已知初始函数和变换过程，求目标函数； ②已知变换过程和目标函数，求初始函数； ③已知初始函数和目标函数，求变换过程。 我告诉大家，前两个题型非常简单，我今天不给大家讲，我前面有讲《2句话搞定三角函数图像平移变换问题》，只要看过我这篇文章或者视频课，把这个点领悟透彻，这两题非常容易就做出来了。我给大家答案，大家可以自己去做一下，第一题答案是：A；第二题答案：B。 今天就主要来讲一讲如何搞定第三种题型：已知初始函数和目标函数，求变换过程。 它为什么难度比较大呢，就是因为它给的两个函数的名称不一样，你首先是要统一名称，而且是唯一的，你如果统一成cosx就有可能有正确的先期，如果统一成sinx可能就没有正确选项。所以这类题只能出选择题，不能出填空题。为什么？因为填空它的答案不唯一！！所以一般不会出填空题。 为方便大家能将这个知识点理解透彻，我用常规方法解一道题讲原理，最后给大家讲秒杀方法，那么这种题目就可以10秒出答案！ 常规方法解例1： 首先我统一成cosx看能不能选出答案。 那么y=cos(x+π/3)不变，我将y=sinx变换成y= cos(x+3π/2)，那前面的π/3看成2π/6，后面的3π/2看成9π/6。那么只需后面平移成前面，所以怎样平移：左加右减，所以向右平移7π/6个单位。大家发现，选项里是没有这个选项。所以这样做是不对的。并不是说我转成cos这种方式是错的，它是正确的。但为什么不对？后面再作讲解。 假如说我同时平成sin： 那就是：y=cos(x+π/3)→y=sin(π/2+x+π/3) →y=sin(x+5π/6)。 那么如何将y=sinx 平移成y=sin(x+5π/6)呢？那就是向左平移5π/6个单位，直接选C。 所以要统一成sin才能做，为什么？我给大家解释下，选项不唯一，那么那出正确答案的原则就是：平移最短路径！所以上面的题它不出平移7π/6个单位，而是向左平移5π/6个单位。 只要抓住问题的实质，那么我就给大家讲一个技巧，我怎么样保证平移的是最终路径？大家可以直接使用，正确率100%！那么大家只要记住两点： ①y=sinx就记点(π/2，1)，见到sin就将整体=π/2，求x； ②y=cosx就记点(0，1)，见到cos就将整体=0，求x。 这样就能保证是最短路径。我们来验证一下： 第一题： y=cos(x+π/3)我就令x+π/3=0→x=-π/3，y=sinx就令x=π/2， 我们画个数轴，由于是由y=sinx到y=cos(x+π/3)，那就是从π/2到-π/3，则得到向左移5π/6个单位，答案就选C。 再看第二题： 见到sin就将整体=π/2，在y=sin(2x-π/6)中，令2x-π/6 =π/2→x=π/3，见到cos就将整体=0，而在y=cos2x中，就令2x=0→x=0。画数轴，要由y=cos2x到y=sin(2x-π/6)，大家看，是由0到π/3，那么就是向右平移π/3个单位，直接选B。 接下来看第三题： 见到sin就将整体=π/2，在y=sin(2x+π/3)中，令2x+π/3 =π/2→x=π/12，见到cos就将整体=0，而在y=cos2x中，就令2x=0→x=0。画数轴，要由y=cos2x到y= sin(2x+π/3)，大家看，是由0到π/12，那么就是向右平移π/12个单位，直接选A。 再看第四题： 这道题首先需要用到辅助角公式，把y=sin3x+cos3x化成正弦型函数，这个辅助角公式该如何高效使用，在系统课里有详细讲解，在这里不展开讲，直接用就得到y=√2sin(3x+π/4)，见到sin就将整体=π/2，那么令3x+π/4=π/2→x=π/12，见到cos就将整体=0，那么就令3x=0→x=0。画数轴，是由0到π/12，那么就是向右平移π/12个单位，直接选C。 再看第五题：这一题就需要大家动下脑筋！
由于f(x)=Asin(ωx+π/6)后面没有一个加减的非0数，所以它没有上下平移的，如果没有上下平移，由f(x)=Asin(ωx+π/6)的图像与x轴交点的横坐标构成一个公差为π/2的等差数列，这说明半个周期（T/2）就等于π/2，即得到T=π，ω=2π/T→ω=2。 则： f(x)=Asin(ωx+π/6) →f(x)=Asin(2x+π/6)，见到sin就将整体=π/2，令2x+π/6=π/2→x=π/6； g(x)=Acosωx→g(x)=Acos2x，见到cos就将整体=0，令2x=0→x=0； 画数轴，由于是由y=f(x)平移到g(x)，那就是由π/6到0，那么就是向左平移π/6个单位，直接选A。 看最后第六题：
首选求导f ' (x)=2cos(2x+π/3)，由f(x)=sin(2x+π/3)平移成f ' (x)=2cos(2x+π/3)，那首先就明确纵坐标伸长2倍，答案就是A、C里选， f(x)=sin(2x+π/3)→见到sin就将整体=π/2，令2x+π/3=π/2→x=π/12； f ' (x)=2cos(2x+π/3) →见到cos就将整体=0，令2x+π/3=0→x=-π/6； 画数轴，由f(x)平移到f ' (x)，那就是从π/12到-π/6，就是向左平移π/4个单位，直接选C。 我讲的这个方法是不是非常暴力，这种做法是100%的正确，大家可以放心使用。 大家看到了吗，只要关注我一段时间的同学都知道，我讲题都是由易到难，由常规讲技巧，循序渐进，帮助大家巩固理解基础的同时，通过技巧快速提升做题效率，达到提分目的。 |
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