高数问答51 0/0和∞/∞都可以使用洛必达法则吗

问题  任何0/0或∞/∞型的未定式都可以使用洛必达法则求极限吗？

答  不一定。

首先使用洛必达法则必须满足法则的三个条件，而0/0或∞/∞型未定式未必都具备这些条件。

比如函数极限属于0/0型，如果我们使用洛必达法则，那么有

上式右边的极限并不存在，因此使用洛必达法则不能达到求出极限的目的，即洛必达法则的条件3不被满足，但这并不意味着原极限不存在，只能说是洛必达法则不适用。事实上，我们在前面根据有界量和无穷小的乘积仍为无穷小量，计算过这个极限应该是0.

其实在前面的问题中我们也解释过，使用柯西中值定理的时候存在，并不意味着,因为中值有可能以某种特殊的规律呈现。

最后我们再介绍一种有趣的情形，那就是洛必达法则的每个条件都满足，但是使用法则后又回到原来的极限的情形，这种情形之下也不适宜使用洛必达法则。

比如求极限的时候如果使用洛必达法则就会出现回到原极限的循环现象，因此确定不了极限，具体过程大家可以计算一下，但这个极限我们其实可以比较容易地算出等于1.