问题 不用导数的定义可以求单侧导数吗?如果可以的话,函数应该满足什么条件呢? 答 在满足一定的条件下单侧导数可以不用定义来求,有如下的定理。 定理 设函数在区间上连续,在内可导,且极限存在,则右导数存在并且有 证 任取,在上使用拉格朗日中值定理,得 上式是因为当时,也有,于是结论得证。 与之类似,我们也可以得出左导数的条件与结论。 □ 这定理表明: (1)如果分段函数在分段点连续的一侧的导函数的极限存在,那么可以不必用定义求单侧导数。例如问题48中的例题函数: 在的右侧满足定理的条件,于是右导数可以直接用公式求。 (2)如果分段函数在分段点处连续,且两侧导函数的极限均存在时,那么左右导数都可以用公式直接求(并且进一步地,如果左右导数相同,那么函数在分段点是可导的)。 这里我们再举一个例题,留给大家自行计算。 例 求函数 的导函数。提示 首先判断函数在分段点的连续性,然后判断左右侧是否满足定理的条件(本题中满足),本题中在分段点是可导的,具体过程大家完成。 当然,我们还要提醒大家——如果不存在时,就不能断定一定不存在了,这个问题我们在前面已经讨论过了,大家可以再去温习一下。 |
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