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今天我们来看一个神奇的极限： 求极限：a→0 lim[(-1)^a-1]/πa=？ 
很显然，左边所求极限的函数是一个实数函数，但是你能想象，这个实数函数的极限值居然等于虚数单位i吗？ 我们先来分析一下这个实数函数： f(a)=[(-1)^a-1]/πa 这是一个分数函数，当a→0时： 分子：(-1)^a-1→(-1)^0-1=1-1=0 分母：πa→π×0=0 分子分母都趋近于0，这是一个'0/0型'的未定式极限。 
要求这个极限，关键是处理函数中的(-1)^a。 根据欧拉公式： e^(ix)=cos(x)+isin(x) -1=-1+0=-1+i×0 =cos(π)+isin(π)=e^(iπ) -1=e^(iπ) 
也可以直接利用欧拉恒等式： e^(iπ)+1=0 -1=e^(iπ) 
-1=e^(iπ) (-1)^a=[e^(iπ)]^a=e^(iπa) (-1)^a=e^(iπa) 所求极限函数： [(-1)^a-1]/πa =[e^(iπa)-1]/πa =i[e^(iπa)-1]/iπa [(-1)^a-1]/πa=i[e^(iπa)-1]/iπa 根据重要极限（等价无穷小）： lim[(e^x-1)/x]=1，x→0 很显然，当a→0时，iπa→0。 所以有： lim[e^(iπa)-1]/iπa=1，a→0 
求极限：a→0 lim[(-1)^a-1]/πa =lim[e^(iπa)-1]/πa =lim{i[e^(iπa)-1]/iπa} =i×lim[e^(iπa)-1]/iπa =i×1=i lim[(-1)^a-1]/πa=i，a→0 
最终我们求出了这个实数函数的极限值，结果居然是虚数单位i。 这看上去确实有些令人难以接受，但仔细分析这一切却又非常自然。 因为在实数范围内，我们根本无法定义负底数的指数幂。 我们定义指数函数：y=a^x 特别强调：a＞0且a≠1 
如果底数a是负数，例如a=-1，那么情况就会变得很复杂了。 首先，如果指数x是无理数，我们是无法理解(-1)^x代表什么的。 如果x是有理数，假设x化成最简整分数m/n。 此时需要讨论m和n的奇偶性，例如： (-1)^(1/3)=(3)√(-1)=-1 (-1)^(1/2)=√(-1)=i 注意：(-1)^(1/2)就等于虚数单位i。 所以，我们不能用实数范围的思想去理解(-1)^a，a→0。我们必须要延拓到复数范围内去思考这个问题。所以，这个问题的极限值等于i也就很自然了。 lim[(-1)^a-1]/πa=i，a→0 
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