导数的综合应用；极限；复数

导数的综合应用；极限；复数

 

二. 本周教学重难点：

1. 理解可能函数的单调性与其导数关系，会求函数的极值，最值

2. 掌握数列，函数极限的运算法则，会求数列函数极限，了解连续的意义

3. 了解复数的有关概念，能进行加、减、乘、除运算

 

【典型例题】

[例1] 已知a为实数，若在和上都递增，求的取值范围。

解：

令，即

∴

①         

设   ∴

∴

当时，

当时，    ∴

②         设

∴     ∴

当时，

当时，    ∴

由①②知：

 

[例2] （且）在上是减函数，求的取值范围。

解：

令，或

∵     ∴

∴     ∵    ∴

 

[例3] 已知，函数

（1）当为何值时，取得最小值？证明你的结论。

（2）设在上是单调函数，求的取值范围。

解析：（1）对函数求导数，得

令，得

从而

解得，，其中

当变化时，、的变化如下表：

x
	+	0	－	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

 

当在处取到极大值，在处取到极小值。

当时，，，在上为减函数，在上为增函数。

而当时，；

当时，，所以当时，取得最小值。

（2）当时，在上为单调函数的充要条件是，

即，解得

综上，在上为单调函数的充分必要条件为，即的取值范围是。

 

[例4] 已知，，若，且存在单调递减区间，求的范围。

解：时，

令，即有解即可

∴

∵     ∴ （*）

设，    ∴

∵     ∴

∵ （*）有解即可   ∴

当时，

∵     ∴ 不可能小于0

∴      又∵     ∴ 且

 

[例5] 把边长为60cm的正方形铁皮的四角切成边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数，问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？

解：设长方体高为xcm，则底面边长为 

长方体容积  

∵      ∴ ，即函数定义域为

令，解得，（不合题意舍去），于是

x	（0，10）	10	（10，30）
	+	0	－
	↗		↘

① 当即时，在时，取得最大值为

② 当即时，在时，取得最大值

 

[例6] 已知，求。

解：∵

∴ 为方程的根，

又

∴     ∴ ，

 

[例7] 是否存在常数使等式

对一切正整数成立？证明你的结论。

解：分别将代入

∴

下面用数学归纳法证明

（1）当时，成立

（2）假设时等式成立

当时，

左

由（1）（2）知等式对一切成立

 

[例8] m取何实数时，复数是实数？是虚数？是纯虚数？

解：① 为实数

       ∴

② 为虚数

      ∴ 且

③ 为纯虚数

     ∴ 或

 

【模拟试题】

一. 选择题

1. 已知，函数在上是单调增函数，则的最大值是（    ）

A. 0        B. 1        C. 2        D. 3

2. 已知曲线过点，则这一曲线在该点的切线方程是（    ）

A.                   B.

C.                   D.

3. 已知（m为常数）在上有最大值6，那么此函数在上的最小值为（    ）

A. –34     B.-29    C.-5    D.-11

4. 函数，其中为实数，当时，（    ）

A. 是增函数         B. 是减函数

C. 是常数函数     D. 既不是增函数也不是减函数

5. 已知函数，则（    ）

A. 极大值为5，极小值为

B. 极大值为5，极小值为

C. 极大值为5，无极小值

D. 极小值为，无极大值

6. 函数的极值点是（    ）

A.                                    B.

C. 或             D.

7. 观察函数：① ；② ；③ ；④ 。

当时极限值为1的是（     ）

A. ①③         B. ②③         C. ③④         D. ①④

8. 等于（     ）

A.               B.            C.         D.

 

二. 解析题

1. 已知函数。

（1）若在实数集R上单调递增，求实数的取值范围。

（2）是否存在实数，使在上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。

（3）证明的图象不可能总在直线的上方。

2. 已知，求的单调区间。

3. 某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每年生产x件这样的产品需要再增加可变成本（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？

 

 

 

【试题答案】

一.

1. D

解析：，因为在上单调递增，所以，即，故。

2. B

解析：∵ 曲线过点

∴     又   ∴

∵     ∴ 切线方程为

∴ 选B

3. A

解析：

由得或2

∵ ，，

显然

∴ ，最小值为

4. A

解析：，其判别式

∴ 时恒有成立

∴ 为增函数

5. C

解析：令，得或

∵     ∴

当时，

而当时，

∴ 为的极大值点

当时，

6. D

解析：由，得或

当时，；时，

∴ 不是极值点，同理也不是的极值点，为的极值点，故选D。

7. D

解析：经计算：①的极限为1，②的极限为0，③的极限为，④的极限为1，所以选D

8. B

解析：∵      ∴

 

二.

1. 解析：（1）由已知      ∵ 在上是单调增函数

∴ 在上恒成立，即对恒成立

∵     ∴ 只需

又时，，在R上是增函数

∴

（2）由在上恒成立

得，恒成立

∵     ∴     ∴ 只需

当时，，在上，

即在上为减函数   ∴

故存在实数，使在上单调递减

（3）证明∵

∴ 的图象不可能总在直线上方

2. 解析：

             

（1）当时，若，；若，

所以当时，在内为减函数，在内为增函数

（2）当时，由

解得或

由，解得

所以时，在内为增函数，在内为减函数，在内为增函数

（3）当时，由，解得，由，解得或，所以当时，在内为减函数，在内为增函数，在内为减函数。

3. 解析：设该厂生产x件这种产品的利润为元，则

       

令，得（件）

又当时，；

当时，，所以是的极大值点。

当时，元

因此，要使利润最大，该厂应生产这种产品60件，最大利润为9500元