【原】2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第6章　§6-2　等差数列

§6.2　等差数列

考试要求　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．

知识梳理

1．等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为a_n－a_n－1＝d(常数)(n≥2，n∈N^*)．

(2)等差中项

由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：a_n＝a₁＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：S_n＝na₁＋d或S_n＝.

3．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a_n＝a_m＋(n－m)d(n，m∈N^*)．

(2)若{a_n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N^*)，则a_k＋a_l＝a_m＋a_n.

(3)若{a_n}是等差数列，公差为d，则a_k，a_k＋m，a_k＋2m，…(k，m∈N^*)是公差为md的等差数列．

(4)数列S_m，S_2m－S_m，S_3m－S_2m，…也是等差数列．

(5)S_2n－1＝(2n－1)a_n.

(6)等差数列{a_n}的前n项和为S_n，为等差数列．

常用结论

1．已知数列{a_n}的通项公式是a_n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a_n}一定是等差数列，且公差为p.

2．在等差数列{a_n}中，a₁＞0，d＜0，则S_n存在最大值；若a₁＜0，d＞0，则S_n存在最小值．

3．等差数列{a_n}的单调性：当d＞0时，{a_n}是递增数列；当d＜0时，{a_n}是递减数列；当d＝0时，{a_n}是常数列．

4．数列{a_n}是等差数列⇔S_n＝An²＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　)

(2)数列{a_n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N^*，都有2a_n＋1＝a_n＋a_n＋2.(　√　)

(3)在等差数列{a_n}中，若a_m＋a_n＝a_p＋a_q，则m＋n＝p＋q.(　×　)

(4)若无穷等差数列{a_n}的公差d>0，则其前n项和S_n不存在最大值．(　√　)

教材改编题

1．在等差数列{a_n}中，已知a₅＝11，a₈＝5，则a₁₀等于(　　)

A．－2  B．－1  C．1  D．2

答案　C

解析　设等差数列{a_n}的公差为d，由题意得解得

∴a_n＝－2n＋21.∴a₁₀＝－2×10＋21＝1.

2．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₄＝8，S₈＝20，则a₉＋a₁₀＋a₁₁＋a₁₂等于(　　)

A．12  B．8  C．20  D．16

答案　D

解析　等差数列{a_n}中，S₄，S₈－S₄，S₁₂－S₈仍为等差数列，即8,20－8，a₉＋a₁₀＋a₁₁＋a₁₂为等差数列，所以a₉＋a₁₀＋a₁₁＋a₁₂＝16.

3．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n.若a₁＝10，S₄＝28，则S_n的最大值为________．

答案　30

解析　由a₁＝10，S₄＝4a₁＋6d＝28，解得d＝－2，所以S_n＝na₁＋d＝－n²＋11n.当n＝5或6时，S_n最大，最大值为30.

题型一　等差数列基本量的运算

例1　(1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{a_n}中，a＝a₃a₆，若该数列的前n项和S_n＝0，则n等于(　　)

A．10  B．11  C．12  D．13

答案　D

解析　由题意知(a₁＋4)²＝(a₁＋2)(a₁＋5)，na₁＋＝0，解得a₁＝－6，n＝13.

(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)

A．3 699块                                     B．3 474块

C．3 402块                                     D．3 339块

答案　C

解析　设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成d＝9，a₁＝9的等差数列．由等差数列的性质知S_n，S_2n－S_n，S_3n－S_2n成等差数列，且(S_3n－S_2n)－(S_2n－S_n)＝n²d，则9n²＝729，得n＝9，

则三层共有扇面形石板S_3n＝S₂₇＝27×9＋×9＝3 402(块)．

思维升华　(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a₁，n，d，a_n，S_n，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．

(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a₁和公差d.

跟踪训练1　(1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)(　　)

A．一尺五寸                                   B．二尺五寸

C．三尺五寸                                    D．四尺五寸

答案　B

解析　由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{a_n}，设公差为d，

∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，

∴

解得

∴芒种日影长为a₁₂＝a₁＋11d＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸．

(2)数列是等差数列，且a₁＝1，a₃＝－，那么a_{2 024}＝________.

答案　－

解析　设等差数列的公差为d，因为a₁＝1，a₃＝－，所以＝1，＝3.所以3＝1＋2d，解得d＝1.所以＝1＋n－1＝n，所以a_n＝－1.所以a_{2 024}＝－1＝－＝－.

题型二　等差数列的判定与证明

例2　(2021·全国甲卷)已知数列{a_n}的各项均为正数，记S_n为{a_n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列{a_n}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a₂＝3a₁.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

解　①③⇒②.

已知{a_n}是等差数列，a₂＝3a₁.

设数列{a_n}的公差为d，

则a₂＝3a₁＝a₁＋d，得d＝2a₁，

所以S_n＝na₁＋d＝n²a₁.

因为数列{a_n}的各项均为正数，

所以＝n，

所以－＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列．

①②⇒③.

已知{a_n}是等差数列，{}是等差数列．

设数列{a_n}的公差为d，

则S_n＝na₁＋d＝n²d＋n.

因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a₁－＝0，即d＝2a₁，所以a₂＝a₁＋d＝3a₁.

②③⇒①.

已知数列{}是等差数列，a₂＝3a₁，

所以S₁＝a₁，S₂＝a₁＋a₂＝4a₁.

设数列{}的公差为d，d>0，

则－＝－＝d，得a₁＝d²，

所以＝＋(n－1)d＝nd，

所以S_n＝n²d²，

所以a_n＝S_n－S_n－1＝n²d²－(n－1)²d²＝2d²n－d²(n≥2)，是关于n的一次函数，且a₁＝d²满足上式，所以数列{a_n}是等差数列．

思维升华　判断数列{a_n}是等差数列的常用方法

(1)定义法．

(2)等差中项法．

(3)通项公式法．

(4)前n项和公式法．

跟踪训练2　已知数列{a_n}的各项都是正数，n∈N^*.

(1)若{a_n}是等差数列，公差为d，且b_n是a_n和a_n＋1的等比中项，设c_n＝b－b，n∈N^*，求证：数列{c_n}是等差数列；

(2)若a＋a＋a＋…＋a＝S，S_n为数列{a_n}的前n项和，求数列{a_n}的通项公式．

(1)证明　由题意得b＝a_na_n＋1，

则c_n＝b－b＝a_n＋1a_n＋2－a_na_n＋1＝2da_n＋1，

因此c_n＋1－c_n＝2d(a_n＋2－a_n＋1)＝2d²(常数)，

∴{c_n}是等差数列．

(2)解　当n＝1时，a＝a，∵a₁>0，∴a₁＝1.

a＋a＋a＋…＋a＝S，①

当n≥2时，a＋a＋a＋…＋a＝S，②

①－②得，a＝S－S＝(S_n－S_n－1)(S_n＋S_n－1)．

∵a_n>0，∴a＝S_n＋S_n－1＝2S_n－a_n，③

∵a₁＝1也符合上式，∴当n≥2时，a＝2S_n－1－a_n－1，④

③－④得a－a＝2(S_n－S_n－1)－a_n＋a_n－1＝2a_n－a_n＋a_n－1＝a_n＋a_n－1，

∵a_n＋a_n－1>0，∴a_n－a_n－1＝1，

∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，可得a_n＝n.

题型三　等差数列的性质

命题点1　等差数列项的性质

例3　(1)已知在等差数列{a_n}中，若a₈＝8且log₂()＝22，则S₁₃等于(　　)

A．40  B．65  C．80  D．40＋log₂5

答案　B

解析　log₂()＝log₂＋log₂＋…＋log₂＝a₁＋a₂＋…＋a₁₁＝11a₆＝22，所以a₆＝2，则S₁₃＝＝＝65.

(2)已知数列{a_n}，{b_n}都是等差数列，且a₁＝2，b₁＝－3，a₇－b₇＝17，则a_{2 024}－b_{2 024}的值为________．

答案　4 051

解析　令c_n＝a_n－b_n，因为{a_n}，{b_n}都是等差数列，所以{c_n}也是等差数列．设数列{c_n}的公差为d，由已知，得c₁＝a₁－b₁＝5，c₇＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2.故a_{2 024}－b_{2 024}＝c_{2 024}＝5＋2 023×2＝4 051.

思维升华　等差数列项的性质的关注点

(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．

(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式S_n＝相结合．

跟踪训练3　(1)若等差数列{a_n}的前15项和S₁₅＝30，则2a₅－a₆－a₁₀＋a₁₄等于(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

答案　A

解析　∵S₁₅＝30，∴(a₁＋a₁₅)＝30，

∴a₁＋a₁₅＝4，∴2a₈＝4，∴a₈＝2.

∴2a₅－a₆－a₁₀＋a₁₄＝a₄＋a₆－a₆－a₁₀＋a₁₄＝a₄－a₁₀＋a₁₄＝a₁₀＋a₈－a₁₀＝a₈＝2.

(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{a_n}满足＝－2，则下列结论一定成立的是(　　)

A.＝－1                                        B.＝－1

C.＝－1                                        D.＝－1

答案　C

解析　由＝－2得a₅≠0,2a₅＋a₈＝a₄＋a₆＋a₈＝3a₆＝0，

所以a₆＝0，a₃＋a₉＝2a₆＝0，

因为a₅≠0，a₆＝0，

所以a₃≠0，＝－1.

命题点2　等差数列前n项和的性质

例4　(1)设等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，若对任意的n∈N^*，都有＝，则＋的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　由题意可知b₃＋b₁₃＝b₅＋b₁₁＝b₁＋b₁₅＝2b₈，

∴＋＝＝＝＝＝＝.

(2)已知等差数列{a_n}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a_n＋1的值为(　　)

A．30  B．29  C．28  D．27

答案　B

解析　奇数项共有(n＋1)项，其和为·(n＋1)＝·(n＋1)＝290，

∴(n＋1)a_n＋1＝290.

偶数项共有n项，其和为·n＝·n＝na_n＋1＝261，

∴a_n＋1＝290－261＝29.

思维升华　等差数列前n项和的常用的性质是：

在等差数列{a_n}中，数列S_m，S_2m－S_m，S_3m－S_2m，…也是等差数列，且有S_2n＝n(a₁＋a_2n)＝…＝n(a_n＋a_n＋1)；S_2n－1＝(2n－1)a_n.

跟踪训练4　(1)设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₄＝20，S₅＝30，a_m＝40，则m等于(　　)

A．6  B．10  C．20  D．40

答案　C

解析　由S₄＝20，S₅＝30，得a₅＝ S₅ －S₄＝10，由等差数列的性质，得S₅＝30＝5a₃，故a₃＝6，而a₅－a₃＝10－6＝4＝2d，故d＝2，a_m＝40＝a₅＋2(m－5)，解得m＝20.

(2)已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若a₁＝－2 020，－＝6，则S_{2 023}等于(　　)

A．2 023                                         B．－2 023

C．4 046                                          D．－4 046

答案　C

解析　∵为等差数列，设公差为d′，

则－＝6d′＝6，∴d′＝1，

首项为＝－2 020，

∴＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，

∴S_{2 023}＝2 023×2＝4 046，故选C.

课时精练

1．首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是(　　)

A．(3，＋∞)                                   B.

C.                                          D.

答案　D

解析　a_n＝－21＋(n－1)d，因为从第8项起为正数，所以a₇＝－21＋6d≤0，a₈＝－21＋7d>0，解得3<d≤.

2．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₅₀－S₄₇＝12，则S₉₇等于(　　)

A．198  B．388  C．776  D．2 023

答案　B

解析　∵S₅₀－S₄₇＝a₄₈＋a₄₉＋a₅₀＝12，∴a₄₉＝4，

∴S₉₇＝＝97a₄₉＝97×4＝388.

3．已知等差数列{a_n}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　)

A．28  B．29  C．30  D．31

答案　B

解析　设等差数列{a_n}共有2n＋1项，

则S_奇＝a₁＋a₃＋a₅＋…＋a_2n＋1，

S_偶＝a₂＋a₄＋a₆＋…＋a_2n，

该数列的中间项为a_n＋1，

又S_奇－S_偶＝a₁＋(a₃－a₂)＋(a₅－a₄)＋…＋(a_2n＋1－a_2n)＝a₁＋d＋d＋…＋d＝a₁＋nd＝a_n＋1，

所以a_n＋1＝S_奇－S_偶＝319－290＝29.

4．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为(　　)

A．己丑年                                         B．己酉年

C．丙寅年                                         D．甲寅年

答案　A

解析　根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38＝3×10＋8，则1949年的天干为己，38＝12×3＋2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年．

5．设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若3a₅＝7a₁₁，且a₁>0.则使S_n<0的n的最小值为(　　)

A．30  B．31  C．32  D．33

答案　B

解析　根据题意，设等差数列{a_n}的公差为d，

若3a₅＝7a₁₁，且a₁>0，

则3(a₁＋4d)＝7(a₁＋10d)，

变形可得4a₁＋58d＝0，则a₁＝－d，

所以S_n＝na₁＋

＝－nd＋＝(n²－30n)，

因为a₁＝－d>0，所以d<0，

若S_n<0，必有n²－30n>0，又由n∈N^*，则n>30，故使S_n<0的n的最小值为31.

6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是(　　)

A．a，b，c依次成等差数列

B.，，依次成等差数列

C．a²，b²，c²依次成等差数列

D．a³，b³，c³依次成等差数列

答案　ABD

解析　在△ABC中，若，，依次成等差数列，则＝＋，整理得＝＋，利用正弦定理和余弦定理得2·＝＋，整理得2b²＝a²＋c²，即a²，b²，c²依次成等差数列，此时对等差数列a²，b²，c²的每一项取相同的运算得到数列a，b，c或，，或a³，b³，c³，这些数列都不一定是等差数列，除非a＝b＝c，但题目中未说明△ABC是等边三角形．

7．(2022·全国乙卷)记S_n为等差数列{a_n}的前n项和．若2S₃＝3S₂＋6，则公差d＝________.

答案　2

解析　由2S₃＝3S₂＋6，

可得2(a₁＋a₂＋a₃)＝3(a₁＋a₂)＋6，

化简得2a₃＝a₁＋a₂＋6，

即2(a₁＋2d)＝2a₁＋d＋6，

解得d＝2.

8．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，S₁₀＝16，S₁₀₀－S₉₀＝24，则S₁₀₀＝________.

答案　200

解析　依题意，S₁₀，S₂₀－S₁₀，S₃₀－S₂₀，…，S₁₀₀－S₉₀依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S₁₀＝16，S₁₀₀－S₉₀＝24，因此S₁₀₀－S₉₀＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S₁₀₀＝10S₁₀＋d＝10×16＋×＝200.

9．已知{a_n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S_n，且a₅＝1，________.若存在正整数n，使得S_n有最小值．

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)求S_n的最小值．

从①a₃＝－1，②d＝2，③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问题中并作答．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

解　选择①作为补充条件：(1)因为a₅＝1，a₃＝－1，所以d＝1，所以a_n＝1＋(n－5)×1＝n－4(n∈N^*)．

(2)由(1)可知a₁＝－3，所以S_n＝＝n(n－7)．

因为n∈N^*，所以当n＝3或4时，S_n取得最小值，且最小值为－6.故存在正整数n＝3或4，使得S_n有最小值，且最小值为－6.

选择②作为补充条件：(1)因为a₅＝1，d＝2，所以a_n＝1＋(n－5)×2＝2n－9(n∈N^*)．

(2)由(1)可知a₁＝－7，所以S_n＝＝n²－8n.

所以当n＝4时，S_n取得最小值，且最小值为－16.

故存在正整数n＝4，使得S_n有最小值，最小值为－16.

不可以选择③作为补充条件．

10．在数列{a_n}中，a₁＝8，a₄＝2，且满足a_n＋2－2a_n＋1＋a_n＝0(n∈N^*)．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设T_n＝|a₁|＋|a₂|＋…＋|a_n|，求T_n.

解　(1)∵a_n＋2－2a_n＋1＋a_n＝0，

∴a_n＋2－a_n＋1＝a_n＋1－a_n，

∴数列{a_n}是等差数列，设其公差为d，

∵a₁＝8，a₄＝2，

∴d＝＝－2，

∴a_n＝a₁＋(n－1)d＝10－2n，n∈N^*.

(2)设数列{a_n}的前n项和为S_n，则由(1)可得，

S_n＝8n＋×(－2)＝9n－n²，n∈N^*.

由(1)知a_n＝10－2n，令a_n＝0，得n＝5，

∴当n>5时，a_n<0，

则T_n＝|a₁|＋|a₂|＋…＋|a_n|

＝a₁＋a₂＋…＋a₅－(a₆＋a₇＋…＋a_n)

＝S₅－(S_n－S₅)＝2S₅－S_n

＝2×(9×5－25)－(9n－n²)＝n²－9n＋40；

当n≤5时，a_n≥0，

则T_n＝|a₁|＋|a₂|＋…＋|a_n|

＝a₁＋a₂＋…＋a_n＝9n－n²，

∴T_n＝

11．(多选)已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S_n，满足a₁＋5a₃＝S₈，下列选项正确的有(　　)

A．a₁₀＝0                                        B．S₁₀最小

C．S₇＝S₁₂                                       D．S₂₀＝0

答案　AC

解析　根据题意，数列{a_n}是等差数列，若a₁＋5a₃＝S₈，

即a₁＋5a₁＋10d＝8a₁＋28d，变形可得a₁＝－9d.

又由a_n＝a₁＋(n－1)d＝(n－10)d，

得a₁₀＝0，故A正确；

不能确定a₁和d的符号，不能确定S₁₀最小，故B不正确；

又由S_n＝na₁＋＝－9nd＋＝×(n²－19n)，

得S₇＝S₁₂，故C正确；

S₂₀＝20a₁＋d＝－180d＋190d＝10d.

因为d≠0，

所以S₂₀≠0，故D不正确．

12．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且＝，则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　＝＝＝，所以＝，

所以＝＝＝.

13．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a_n}，则{a_n}的前n项和为________．

答案　3n²－2n

解析　将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a_n}，则{a_n}是以1为首项，以6为公差的等差数列，故它的前n项和为S_n＝n×1＋×6＝3n²－2n.

14．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₆>S₇>S₅，则满足S_nS_n＋1<0的正整数n的值为______．

答案　12

解析　由S₆>S₇>S₅，得S₇＝S₆＋a₇<S₆，S₇＝S₅＋a₆＋a₇>S₅，所以a₇<0，a₆＋a₇>0，所以S₁₃＝＝13a₇<0，S₁₂＝＝6(a₆＋a₇)>0，所以S₁₂S₁₃<0，即满足S_nS_n＋1<0的正整数n的值为12.

15．将正奇数排成一个三角形阵，按照如图排列的规律，则第15行第3个数为(　　)

A．213  B．215  C．217  D．219

答案　B

解析　由题意知，在三角形数阵中，前14行共排了1＋2＋3＋…＋14＝＝105个数，则第15行第3个数是数阵的第108个数，即所求数字是首项为1，公差为2的等差数列的第108项，则a₁₀₈＝1＋(108－1)×2＝215.

16．对于数列{a_n}，定义H_n＝为{a_n}的“优值”，已知数列{a_n}的“优值”H_n＝2^n＋1，记数列{a_n－20}的前n项和为S_n，则S_n的最小值为(　　)

A．－70  B．－72  C．－64  D．－68

答案　B

解析　∵数列{a_n}的“优值”H_n＝2^n＋1，

∴H_n＝＝2^n＋1，

∴a₁＋2a₂＋…＋2^n－1a_n＝n·2^n＋1，

∴2^n－1a_n＝n·2^n＋1－(n－1)·2ⁿ(n≥2)，

∴a_n＝4n－2(n－1)＝2n＋2(n≥2)，又a₁＝4，满足上式，

∴a_n＝2n＋2(n∈N^*)，

∴a_n－20＝2n－18，

∴{a_n－20}是以－16为首项，2为公差的等差数列，

所以{a_n－20}的前n项和S_n＝n²－17n.

由得8≤n≤9，

∴S_n的最小值为S₈＝S₉＝－72.