我们为什么需要复数？

最近断断续续听了647老师(B站UP我真的不懂分析，清华的)的复分析, 受益匪浅. 本系列推文作为笔记, 总结一些我认为复分析中有意思的内容.

复数的引入

有人会觉得, 我们是为了解方程

才引入复数

但是这个说法本身就很不合理: 我们为什么要去解一个根本不存在的东西? 实际的意义是什么?

负数的引入在当初都引发了巨大的争议, 这样一个'Imaginary'的数, 如果没有十足的动力和广泛的应用是断然不会被广泛接受的.

此外这个说法和历史上复数的真实来历也有出入.

真实的历史情景是, 我们想要某些三次方程, 但是我们无法用实数的代数组合表示这个三次方程的解.

举例来说, 我们知道倍角公式：

那么如果我们想求(这是非常有用的)：

只需要解三次方程：

也就是：

这是一个缺项的三次方程, 我们可以通过一些技巧写出解析解.

卡尔丹诺公式（Cardano's formula）

对于缺项三次方程：

做换元：

为什么要做这样的换元？？我们的目的是为了让原方程的其中一个根变得容易求解！！

我们假设是原方程的一个根：

稍加整理得到：

那么只要

即可满足我们的假设。

和的地位等同，不妨假设，稍加整理得到：

根据韦达定理，和是下述方程的两个根：

进而可以使用求根公式得到：

也就是

记：

那么

回到最初换元之后的方程：

那么根据方程已有的有一个根：

可以做出如下的因式分解：

于是方程的三个根为：

这里面就出现了这样的虚数，我们先暂时接受他，写成：

记：

那么

综上所述，原方程

的解为：

不规矩数？

回到我们最开始的问题：

也就是解方程：

把

带入卡尔丹诺公式得到：

所以：

也即是

所以原方程的解为：

事实上，第一个根就是我们要的（后面两个则是和）：

在python中很容易就可以检验这个答案：

from math import sqrt,cos,pi

w = (1+sqrt(3)*1j)/2
print(w**(1/3)/2+w.conjugate()**(1/3)/2)
# 输出(0.9396926207859084+0j)

print(cos(pi/9))
# 0.9396926207859084


为什么？

这大概是一个代数练习题。

我在网上找到了一份多伦多大学的Geoffrey Scott同学写的代数笔记(https://www.math./gscott/oct28_2015.pdf)，相关部分截图如下：

这里面constructible就是规矩的的意思。笔记证明了，这个数是不可以尺规作图的。这也就证明了，这个数不能在实数范围内用有限次的加减乘除开方表示。

这也就是上一节的标题：不规矩数，无法用实数的代数组合表示的实数。

笔记的链接放在文中了，如有需要也可以来后台找我来pdf。