【原】函数是无穷维向量

  一个向量a可以表示成其在各个单位正交基(也叫规范正交基)上的投影之和，即a=x1e1+x2e2+x3e3+...。也可以只用一组坐标表示，即a=(x1,x2,x3，...)，括号中的坐标分别是向量a在各个基向量上的投影系数或各个维度上的分量。另一方面可以将向量看成是一个关于维度n的数列或函数，即a(n)=xn，函数的定义域即n的取值范围为{1，2，3，...}。要是将n的取值范围推广到一个连续的区间，比如[0，1]，这样a(n)就变成一个连续函数。因此连续函数可以看成无穷维的向量。

    向量可以分解为规范正交基中各个基向量上的投影之和，并且投影系数的平方和等于向量的模的平方，即勾股定理。其中，向量的坐标，即投影系数，等于向量与基向量的内积。类似的，对于一个闭区间上的两个连续函数，定义其内积为两个函数之积在该区间上的积分，并将一个函数的平方在该区间上的积分的平方根定义为范数(相当于向量的模)。要是能找到一个闭区间上的一组函数(通常是无穷个)，满足这一组函数的模为1，并且不同函数之间的内积为零(即相互正交)，它们就叫作一组规范正交基。如果对于该区间上的任意平方可积函数x(t)满足其平方在该区间上的积分等于它在规范正交基上的各个坐标(即与各个基的内积)的平方和，相当于勾股定理的推广，则称该规范正交基是完备的。

    可以证明，通常一个区间上的函数都可以表示成它在该区间上的完备规范正交基的坐标与相应的各个基乘积之和，或者说可以表示成该函数在完备规范正交基的各个基上的投影之和，类似于向量可以分解为各个基向量上的投影之和。当然就像向量的基不一定是正交的也不一定是单位向量一样，即使不是规范正交基，只要是完备的，函数也可以进行类似分解。

    这种分解有很重要的应用，比如函数可以以一组三角函数为完备规范正交基展开成傅里叶级数就是这个原理。另外还可以用于微分方程的求解。一个微分方程当直接求解比较困难时，若将解在完备规范正交基上展开成系数待定的级数，就可以将微分方程求解转化为待定系数的求解。量子力学中求解多原子体系的波函数也常这样处理，比如分子轨道理论中将一个分子的波函数表示成各原子波函数的线性组合然后求解相应的系数就可以得到分子的波函数，进而根据分子波函数计算分子的性质。