生成函数是对应于给定数列的一个形式级数,常见的生成函数有普通生成函数、指数型生成函数以及Dirichlet生成函数。 定义1 数列 的普通生成函数是下面的形式级数: 定义2 数列 的指数型生成函数是下面的形式级数: 定义3 数列 的Dirichlet生成函数是下面的形式级数: 用生成函数求数列通项公式 前面介绍过斐波那契数列,其递推公式为 根据递推公式,该数列的普通生成函数满足 根据上述方程解除f(x), 裂项得到 根据无穷等比数列求和公式,或广义二项式定理,或泰勒中值定理,可以得到1/(1-x)(泰勒级数与幂级数)的幂级数展开式为 因此可以根据上式将上述f(x)的初等表达式括号中的两项分别展开为幂级数,然后次数相同项求差,再与括号外的常数相乘,便得到f(x)的幂级数展开式,其n次项系数为 上式就是斐波那契数列的通项公式。 事实上一般的递推公式为线性形式的数列,都可以用生成函数法按照上述思路求出通项公式。 |
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