【原】【新乡市一中九下月测15】【定弦定角】【点圆最值】

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试题内容

如图，正方形ABCD中，点M、N分别为边CD、AB上一个动点，且CM=AN，连接MN，过点D作DP⊥MN于点P，连接CP，若AB=4，则CP的最小值为     .

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解法分析

连接AC交MN于点O，

∵MC∥AN，MC=AN，

∴四边形ANCM是平行四边形，

∴点O为AC、MN的中点，

连接DO，取DO的中点E，

∵DP⊥MN，

∴∠DPO=90°【定角】，

∴点P在以点E为圆心，DO【定弦】长为直径的圆上移动，

∴如图所示：当点C、P、E三点共线时，CP取得最小值，

∵AB=4，

∴AC=4√2，

∴CO=DO=2√2，EP=EO=√2，

在Rt△EOC中，

EC=√(EO²+CO²)=(√10)，

∴CPmin=EC-EP=(√10)-(√2).

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巩固练习

如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是     .

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解法分析

根据正方形的性质，易证：

∠1=∠2=∠3，

∵∠1+∠4=90°，

∴∠3+∠4=90°，

∴∠AHB=90°【定角】，

∴点H在以点O为圆心，AB【定弦】长为直径的圆上移动，

∴如图所示：当点D、H、O三点共线时，DH取得最小值，

在Rt△AOD中，

∵AD=2，OA=1，

∴OD=√5，

∵OH=OA=1，

∴DHmin=OD-OH=(√5)-1.