【原】【新乡市一中九下月测21】【函数的图象和性质】【参数坐标与位置问题】

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试题内容

已知，平面直角坐标系中，二次函数的解析式为y=ax²+2bx-b²+4b+1，A(5,0)，B(0,5).

(1)若二次函数的图象经过点A、B，求二次函数解析式；
(2)若二次函数的顶点在△AOB内，且a=-1，二次函数的图象经过点C(1/4,y1)，D((3/4),y2)，试比较y1与y2的大小.

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解法分析

第一问

待定系数法求函数解析式

∵二次函数的图象经过点A(5,0)，B(0,5)，

∴0=25a+10b-b2+4b+1，5=-b2+4b+1，

 解得:a=-1，b=2

∴二次函数的解析式为：

y=-x2+4x+5. 

第二问上半场

参数坐标与点的位置

设直线AB的解析式为：y=kx+b，由题意得：

0=5k+b，5=b，

解得：k=-1，b=5，

∴直线AB的解析式为：y=-x+5，

∵a=-1，

∴抛物线的解析式为：

y=-x²+2bx-b2+4b+1

=-(x2-2bx+b2)+4b+1

=-(x-b)2+4b+1，

∴抛物线的顶点坐标为(b,4b+1)，

∵点(b,4b+1)在△AOB内，

∴0<b<5，

  0<4b+1<5，

  4b+1<-b+5，

【当x=b时，二次函数的函数值小于一次函数的函数值】

解得：0<b<( 4/5)，

第二问下半场

参数与函数值的大小

【形的角度：函数的图象和性质】

∵抛物线的对称轴为直线x=b，

线段CD的中点横坐标为(1/2)，

∴①当0<b<(1/2)时，y1>y2，【点C离对称轴较近】

②当b=(1/2)时，y1=y2， 

③当(1/2)<b<(4/5)时，y1<y2. 【点D离对称轴较近】

【数的角度：解方程/不等式】

y1=-(1/16)+(1/2)b-b2+4b+1；

y2=-(9/16)+(3/2)b-b2+4b+1；

①当y1>y2时，-(1/16)+(1/2)b>-(9/16)+(3/2)b，

解得：b<(1/2)，

②当y1=y2时，-(1/16)+(1/2)b=-(9/16)+(3/2)b，

解得：b=(1/2)，

③当y1<y2时，-(1/16)+(1/2)b<-(9/16)+(3/2)b，

解得：b>(1/2)，

∴①当0<b<(1/2)时，y1>y2，

②当b=(1/2)时，y1=y2， 

③当(1/2)<b<(4/5)时，y1<y2. 

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