【原】【含参函数】【函数图象的交点】

难度系数

★★★★☆

  2020模拟

1

山西中考试题

已知二次函数y=mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A(−3，0)，与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分(含A，B两点)记为F．

(1)求该函数的表达式及顶点C的坐标；

(2)若二次函数y=x2+2x+n的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求n的取值范围．

2

解法分析

第一问

∵二次函数y=mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A(−3，0)，

∴0=9m−6m+3，

解得m=−1，

∴函数的表达式为y=−x2−2x+3，

∵y=−x2−2x+3

=−(x2+2x)+3

=−(x2+2x+1−1)+3

=−(x+1)2+4，

∴顶点C的坐标为(−1，4).

第二问

图1

图2

图3

画出函数y=−x2−2x+3的图象如图所示，点B的坐标为(0，3)，

函数y=x2+2x+n的图象可以看作由函数y=x2+2x的图象上下平移得到.

如图1，当函数y=x2+2x+n的图象经过点A(−3，0)时，

0=9−6+n，

解得n=−3，

如图2，当函数y=x2+2x+n的图象经过点B(0，3)时，

n=3，

如图3，当函数y=x2+2x+n的图象经过顶点C(−1，4)时，

4=1−2+n，

解得n=5，

结合函数图象，可得：

当−3≤n<3时，二次函数y=x2+2x+n的图象与F只有一个公共点，

当3≤n<5时，二次函数y=x2+2x+n的图象与F有两个公共点，

当n=5时，二次函数y=x2+2x+n的图象与F只有一个公共点，

∴当−3≤n<3或n=5时，二次函数y=x2+2x+n的图象与F只有一个公共点.

3

动态演示

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