试题内容
在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′(B′，C′分别是B，C的对应点)，则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
(1)如图，点A，B，C，B，C，B，C的横、纵坐标都是整数．在线段BC，BC，BC中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 ；
(2)△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0，t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；(3)在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．
解法分析(1)
BC
假设将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦BC，
∴AC=AC，
以点A为圆心，AC长为半径画圆A，圆A与圆O无交点，
∴点C不存在，即BC不符合题意.
BC
假设将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦BC，
∴AB=AB，AC=AC，
以点A为圆心，AB、AC长为半径画两个圆，
则红色弦可以由线段BC绕点A旋转得到，
∴BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”.
同学们可以思考一下，为什么蓝色弦不能由线段BC绕点A旋转得到?
BC
假设将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦BC，
∴AB=AB，AC=AC，
以点A为圆心，AB、AC长为半径画两个圆，
两圆与圆O的交点所形成的弦都不能由线段BC绕点A旋转得到，
∴BC不符合题意.
解法分析(2)
∵△ABC是边长为1的等边三角形，
根据旋转的性质得：△AB′C′也是边长为1的等边三角形，
∴AB'=AC'，则点A在B'C'的垂直平分线上，
∵B′C′是圆O的弦，
∴OB'=OC'，则点O在B'C'的垂直平分线上，
∴线段B'C'的垂直平分线是轴，
符合题意的B'C'只有图中两种情况，
∵等边三角形AB′C′的高=，
∴AO=AO=2=，
∴点A的坐标为(0，)或(0，-)，
∴t=或-．
解法分析(3)
设将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′，
∴OB'=OC'=1，
根据旋转的性质得：
AB'=AB=1，AC=AC'=2，
∴四边形AB'OC'的四条边长度为定值，
连接OA，根据三角形三边的关系，
①在△AOB'中，
0<OA<2；
②在△AOC'中，
1<OA<3；
即:1<OA<2.
临界状态求最值
当点A、C'、O三点共线时，
OA=1，BC=B'C'=；
当点A、B'、O三点共线时，
OA=2，
过点A作AE⊥OC′于点E，过点C′作C′F⊥OA于点F．
∵△AOC'是等腰三角形，
∴OE=，
在△AOE中，根据勾股定理得：
AE=，
根据等面积法得：
C'F==，
在△C'OF中，根据勾股定理得：
OF=，
∴B'F=，
在△C'FB'中，根据勾股定理得：
B'C'=.
综上所述：OA取最小值1时，BC=；
OA取最大值2时，BC=.
