高中数学为何感觉很难-函数值域最值（二）

高中数学为何感觉很难

      百分之九十的学生感觉高中数学很难，做题没有思路，对于课堂学过的知识，做题时不会用，想不到解题方法。一旦给出了解题思路，又感觉自己也可以解出来。产生这种情况的原因是高中教育阶段数学的题目一般会涉及多个知识点，甚至是初中、小学知识的熟练且综合的运用。数学题目很少直接可以让你用课本上的定义、公式直接套进去解出来，而是加了几层外壳（一般不超过3个），需要进行脱壳（转化），而脱壳的工具就需要利用前面的知识点。因为前面知识点不熟练不会运用，或没有掌握导致题目做不出来。对此，一个快速的解决方法就是：大量刷题作为前提，总结规律作为结果，高考时数学科目的成绩一定会名列前名。

5）含参数的二次函数的最值问题运用归纳法和数形结合

A、利用二次函数的判别式和韦达定理（根个数已知），或者根关于各项系数的表达式，获得关于参数的表达式

B、注意变量例如（n<a<b<n+1,其中a和b为根，n为参数，是f（x）中x某个范围的变量）根与变量n的分布，结合抛物线的f（x）随x的变化形态进行求解。C、关于点集问题（x，f（x））组成某种形状的图形，要注意根据图形的性质提取出关于点集的界限和相应成立的条件。

6）直接平方

     求最值(两项都是根式，且根式内部变量幂为1)对于含有两个开方数，例如(1-x)^1/2+(3+x)^1/2, (1-x)^1/2为减函数，  (3+x)^1/2为增函数可以直接平方进行转化求解。当然也可以通过尝试比较这两项导数的斜率，判断增减速度，运用分段归纳进行最值得求解（不建议）5-1）对于有一项含根式且是（a-x^2)^(1/2)的形式可以利用（a-x^2)^(1/2)》=0的性质，设x^2=a^(1/2)sinx,进行换元求解

7）数形结合求最值获得解题的条件

      对容易做出图形的函数或具有明显特征的图形的函数，数形结合更容易找出题目中隐含的条件。其中二次函数和三角函数（三角函数先转化为一个角，再根据范围，求内函数的值域，结合三角函数图像，求三角函数范围）求最值问题，注意结合不等式或导数求解

8）给定等式求最值（一般是两个以上参数）

1、见比设k法    2、因式分解 (十字相乘法)   3、消参换元

9）分段函数求极值

      一般结合函数的周期性，单调性（导数）求最值。注意：x的定义域，选择合适的分段函数，一般可化成f2(f1(x))的形式(其中f1和f2对应着分段)。另外注意分段函数的值域并集（考察集合的知识）

10）复合函数求极值或值域

      判断函数的定义域，根据复合函数定义域，求内函数的值域作为复合函数的定义域，再求整个函数的值域。

11）归纳法求函数参数的值问题

      根据函数性质，对参数展开讨论。特别注意参数代数式0,1作为界限的讨论和结合函数的成立条件，包含隐含成立条件的讨论。例如a^x,ax^2+bx+c,等的讨论

12）三角函数求极值

对于三角函数最值问题，常见的解决方法有：

A、直接求导，利用函数的单调性；

B、换元后求导，利用函数的单调性；

C、构造均值不等式；

D、根据函数的凹凸性，利用琴生（Jensen）不等式等

13）待定系数法（又称为笛卡尔法）

例如：一元四次方程化为x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0的形式。

令x=y-a/4 整理后得到y^4+py^2+qy+r=0,y^4+py^2+qy+r=(y^2+ky+t)(y^2-ky+m)=y^4+(t+m-k^2)y^2+k(m-t)y+tm

比较y对应项系数，得t+m-k^2=p，k(m-t)=q，tm=r

设k≠0，把t和m当作未知数，解前两个方程，

得t=(k^3+pk-q)/(2k)，m=(k^3+pk+q)/(2k)

再代入第三个方程，得[(k^3+pk)2-q^2]/(4k^2)=r。即k^6+2pk^4+(p2-4r)k^2-q^2=0

解这个方程，设k0是它的任意一根，t0和m0是k=k0时t和m的值

那么方程(1)就变为（y^2+k0y+t0)(y^2^-k0y+m0)=0

解方程y^2+k0y+t0=0和y^2-k0y+m0=0就可以得出方程(1)的四个根

各根加上-a/4就可以得出原方程的四个根。

       此外：该方法也常用于数列an=m*an-1+n其中m，n为常数，求其通项需要引入一个参数使得an+1和an构成等比数列进行求解通常用an+1+µ*qn+1=p（an+µ*qn），通过比较系数，求出µ，转化等比数列。

14）参数的常量化

      本质上讲就是将多元参数中的某些参数看做常量，进行求解的方法。虽然历年考察的次数较少，但是如果没有好的解题思路，但是有好的计算能力，也可以硬算出题目的答案。

      也许，对专类题目没有实际总结的你，看了这篇文章会迷糊，不要紧。我之所以给出很少的实例，就是让你实际做题时，出现“开悟”的感觉。定期多读几遍，在平时做每一道数学题时，都对照一下这些方法。特别是没有思路时，逐个将这些方法过一遍，基本上会有不错我思路。坚持下来，数学学习层次一定会有极大的提升。高考数学的黑马非汝莫属。