【学习导引】本期接上期【高中数学精讲】集合与函数—集合之间的关系（1）继续讲解集合之间的关系相关例题。
【知识点3】真子集的概念
【例题1】已知集合,,,，那么与的关系是__.
详解：集合和都是无限集，我们常用定义法进行判断；如果是有限集，可直接列举元素进行判断。
对于任意 ，有:
,
∵,∴
∴,∴.
当 时，,
但 .
综上所述， 与 的关系是 .
【例题2】设集合
,,,,
其中,下列说法正确的是( )
.对任意, 是的子集,对任意的,不是的子集
.对任意, 是的子集,存在,使得是的子集
.存在, 使得不是的真子集,对任意的,是的子集
.存在,使得不是的子集,存在,使得是的子集
详解：先判断和的关系:
设,即,此时，必有:
,
即有.
∴对任意,是的子集;
再判断和的关系：
(依据判别式的正负来取特殊值).
当时，,
,
此时是的子集；
当时，,
且,
此时不是的子集。
因此，存在,使得是的子集。
答案：
【知识点4】空集的概念
【例题1】已知集合①；②；③；④；⑤.其中，一定表示空集的是__（填序号）.
详解：①集合中存在元素0，非空集;
②集合中的元素是集合，有一个元素是空集，该集合是非空集;
③当时，,该不等式的解集存在，故为非空集;
④，不等式无解集，则该集合是空集;
⑤,所以原一元二次方程无实数根，该集合为空集.
综上所述，④⑤是空集.
【例题2】给出下列说法:①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集.其中正确的个数是___.
详解：解:①空集的子集是它本身;
②空集只有一个子集;
③空集不是空集的真子集.
综上所述，正确的个数是个.
【知识点5】元素与集合、集合与集合之间关系的判断
【例题1】集合,,则集合与的关系为（ ）.
.
.
.
.
详解：∵
.
①当时，
;
②当时，
;
∵集合
∴集合中的任意一个元素都在集合中，而当为偶数时，集合中的元素不在集合中，
∴.
答案：.
【例题2】给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.其中错误的是___（只填序号）.
详解：①任何集合是它本身的子集，正确;
②，集合具有无序性，正确;
③:空集是任何非空集合的真子集，正确;
④:元素属于集合，正确;
⑤:集合与集合之间的关系不能是“”，错误;
⑥:空集是任何非空集合的真子集，错误;
⑦集合中包含一个元素,而这个元素又在集合中；但元素在集合中，却不在集合中，因此，正确;
综上所述，错误的有:⑤⑥.
【知识点6】有限集合子集、真子集个数的确定
【解题指导】(1) 当一个集合的元素个数较少时，我们可以写出他的全部子集，当然也就知道其子集个数了.
(2)当一个集合的元素个数较多时，一一写出子集不太现实，对于其子集的个数有如下结论:
①含有个元素的集合有个子集;
②含有个元素的集合有个真子集;
③含有个元素的集合有个非空子集;
④含有个元素的集合有个非空真子集;
⑤若集合含有个元素，集合含有个元素，且,则符合条件的集合有个.
【例题1】设集合,
,则集合的非空子集的个数是（ ）.
.
.
.
.
