【原】古尔丹第二定理与旋转体体积

特殊图形的面积、体积、表面积往往有一些比较巧妙的计算方法，例如前面介绍过的皮克定理(皮克定理——一个计算多边形面积的简单公式)、曲面变换法(为什么球的表面积等于相同半径圆面积的4倍？)、祖暅原理(祖暅原理)。根据微积分理论，还可以推导出一些其他计算特殊图形面积或体积的简便方法。例如古尔丹第二定理就提供了一种计算旋转体体积的方法。

一条平面曲线绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。

古尔丹第二定理 平面图形绕不与其相交的轴旋转形成的旋转体的体积，等于此平面图形的面积与图形重心旋转划出的圆形轨迹周长的乘积。可以用公式表示为：

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其中，η表示重心轨迹圆的半径，P表示平面图形的面积。

相对于体积，平面图形的面积往往可以更方便地测量出来，重心也容易通过静力学方法找出。从而通过古尔丹定理计算旋转体体积有时有一定的方便性。而旋转体在工程上也非常常见。因为对于工程上一些的结构，为了加工方便或者保证机器运转的稳定性，制成旋转体通常是更有利的。当然也可以逆用古尔丹第二定理求平面图形的重心。