​宋亚男：数学教育的诗与思——我当数学老师这八年

数学教育的诗与思

——我当数学老师这八年

原创｜宋亚男 

来源｜贞元教育

作为新教育贞元共同体的一员，我愿意在不断领会自己和天地万物生命奥秘的同时，承担庄严神圣的教育使命；我愿意学习中国传统文化，修炼仁心、智慧、勇气，承续中华民族的精神血脉；我愿意啃读心理学、哲学、教育学经典，努力成为卓越课程的开发者和执行者；我愿意践行以学习者为中心的教育理念，运用教育智慧揭示和呈现本学科的神奇魅力，协助儿童在身体、艺术、智思、道德人格等方面获得全面协调的发展；我愿意过一种幸福完整的教育生活，以创造赢得尊严、享有自由。——《贞元学校教师宣言》

王志江：玩游戏、学数学——K12新数学教育发生学的原理、研发、实施与意义

做一名真正的数学教师——2023新教育实验数学学科“玩游戏、学数学”专题研讨会

△宋亚男老师

在演讲之前，我想先问大家几个简单的问题——

4 3-2=？的运算顺序是什么？只能是同级运算从左往右算吗？

如何计算20÷4=？，只能通过乘法口诀吗？

如何计算25×16=？除了竖式还有其他方法吗？

就是这几个看似简单到不能再简单的数学问题，一下子把我带回到八年前的面试现场。我当时的回答是，对呀——

只能先算4 3=7，再算7-2=5；

因为4×5=20，所以20÷4=5；

得到这个乘法算式的结果目前我能想到竖式。

当时的我被这三个莫名奇妙的面试问题搞得一头雾水，心想：这些问题还需要追问吗？

就这样带着好奇，稀里糊涂地上了路......没想到，这样的追问，竟是从数学开始的，最后上达追问自身意义的道路。

我是谁？

我人生上的第一节课是《认识方位》，心想：认识方位不就是告诉孩子上下，前后，左右分别是什么，这有什么可讲的呢？眼睛看到的方向就是前方，看不到的方向就是后方；写字的手是右手，另一支手就是左手啊；上下更没有什么可讲的吧？日常生活早已经习得。

带着这样的前有前见，我开始研读课程资料，这一看，彻底蒙了。数学课程，竟然是从讲绘本故事、神话故事开始。可什么是“绘本”？我从未听过。还要讲甲骨文，我是语文老师吗？还有舞蹈，歌曲？我是舞蹈老师？音乐老师吗？还有写绘，我是美术老师吗？天呢，一个如此简单的课，被搞得如此花里胡哨。但是没办法，我最大的优点就是听话，王校让我做什么，我就做什么，即使完全不懂为什么这样做。

就这样，有了属于我的第一节“舞蹈课”，我的第一首成名改编曲《兔子舞》。真的是又唱又跳，费尽九牛二虎之力让孩子学明白了上下，前后，左右，这几个方位。

这是工作一周后，一个数学老师对自己的定位。

接下来第二章的内容是《10以内数的认识及加减法》，心想，内容终于与数学有关了，我终于可以做回真正的数学老师了，结果......嗯？“用彩泥创造数字”，“数字盘创造数字”这又是要当手工老师吗？创造？屁大点孩子提什么创造，先人们早已经创造出来了，何来他们的创造？还要在音乐中感受数字。“基数”“序数”又是什么意思，从未听过的名词。学习一个10以内的加减法都上升到高中集合高度了，难道掰手指它不快吗？做口算题卡它不简单吗？没办法，自己就是那么地听话，人家让咱怎么做，咱就怎么做。

诶？做着做着，好像感觉确实挺有意思的，孩子们每一节课都玩得不亦乐乎，突然感觉数学课好像并不像我们小时候学的那么苦大仇深，数学也可以如此愉悦地享受其中。以前在我脑海中冷冰冰的数学符号，变得好玩起来，感觉它就是活泼泼的，有了生命，与自己有了联系，好像真的就是我与孩子们一起创造出来的，我们重新赋予了它意义。

尤其是上到最后一节课时，才感觉到自己面试时有多无知，所死板。对呀，4 3-2为什么只能从左往右算呢？我有4个苹果，又买来了3个苹果，吃掉了2个苹果，还剩几个苹果？为什么只能先算出一共有7个苹果，再吃掉2个苹果呢？难道这2个苹果不能从一开始的4个苹果里吃吗？这不就变成了4-2 3；难道不可以是从后来买的那3个苹果里吃吗？那不就变成了3-2 4；甚至我还可以先从4个苹果里吃掉1个，再从后来买来的3个苹果里吃掉1个，也就是（4-1） （3-1）。在这个故事中，算式活了，算理也随之清晰明了，而那句“同级运算只能从左往右算”便不再是真理。

基于那点微弱的悟，在接下来的一段时间里，尽管自己对课程仍然不够了解，但课上孩子们的轻松愉悦我是真真切切能感受到的，他们对数学热情我也是能感受到的。在这个过程中，孩子们也表现出了对我极大的喜欢和依赖，我也得到了家长和同事的认可，这些认可都促使我愿意再深入地了解这门课程。于是，我开启了一段新的旅程，一段自觉之旅。我希望自己不仅仅是孩子喜欢，家长认可的老师，我还希望我自己是一个在专业上有所领悟的数学老师。

我是谁？

第三章《认识立体图形》，我不再先入为主了，而是先打开课程资料认真研读，结果又是一头雾水。本以为可以在PPT上展示一堆的立体图形，然后让孩子总结归纳出每类图形的名称就可以了，可是课程资料却设计了如此多的数学游戏。但不同的是，我不再吐槽课程花里胡哨，而是有意识地去追问为什么这样设计，设计的背后原理到底是什么呢？但功力尚浅，不得其解。

与王校相处两个月后，我发现他并不是电视剧中动不动就骂人的领导，反而是脾气非常温和，长得也非常儒雅。于是鼓足勇气，问出了我的疑惑。他几分钟的讲解，让我醍醐灌顶，豁然开朗。

第一节课《单元主题故事》，我本来从网上找了一些关于立体图形的绘本，结果一一被王校否定了，因为数学绘本故事与语文绘本不一样，语文绘本需要靠故事情节吸引儿童，可如果数学绘本仅仅如此的话，那么数学目标就无法很好地达成。数学故事必须是基于儿童脑海中已有的形形色色的立体图形的经验，在故事好玩的基础上，通过问题，激发孩子的思考和对话，进而引导儿童对这些立体图形进行分类。伴随着每次的分类，我们老师就可以追问孩子为什么要这样分类，进而对每一类进行命名。

随着自己对数学绘本的本质越来越清晰，于是摇身一变，成为了绘本创编者。

我继续问：已经命名了，也就是说孩子已经可以叫出每个立体图形的名称了，为什么还要盲摸呢？在此之前，孩子已经通过绘本故事的看和触摸对几何体有了表象能力，盲摸时，就是将自己摸到的图形与自己头脑中已有的表象进行对比，进一步建构图形观念。

盲摸意味着孩子已经能辨别每个立体图形了，为什么后续还要有那么多的动手操作游戏呢？它们有什么顺序吗？

通过前两个阶段的学习，儿童脑海中初步建构生成的立体几何图形观念越来越强大，彩泥制作不仅仅是一个模仿，而是将脑海中的表象做出来。就像一个建造师，在建造一所房屋之前，他脑海里首先要有这个房屋的大概，然后一点点地建造。

接下来儿童可以用彩泥捏出他们脑海中的“样子”；也可以用磁力棒搭建立体图形。而彩泥制作更多关注的是立体图形的整体和每个面，磁力棒则更多关注的是立体图形的顶点和棱。

同时，这样的制作活动本身又可以积累丰富的动作经验，通过逐步内化这些动作经验，儿童脑海中的立体图形观念也会变得更为稳定和清晰。

经过几个好玩的游戏，儿童便能初步浪漫地建构生成立体图形观念。那为什么还会有立体图形盖章呢？因为最初孩子们平面图形与立体图形是不分的，有时他们会将平面图形称为立体图形，将立体图形称为平面图形，因为他们此刻关注的只是立体图形的一个面。那怎么办呢？我们可以通过盖章游戏，来沟通两者之间的关系，进而将儿童已有的混沌的经验加以澄清。儿童对面的特征领会越深，立体图形观念就越稳定。

最后，可以让孩子们发挥自己的想象，制作自己的梦幻城堡。

本以为两节课就可以完成本章的目标，在王校耐心的解释下，深刻地感受到真是哪一节课都不能少，每一节课都有背后原理的。也正是这一章的课，让我自己对课程越来越有兴趣。

一次偶然的机会，我代表学校去另一所学校讲课程，内容正好是二下的《平面图形的认识》。因为有了一上《立体图形》的高峰体验，对平面图形课程设计背后原理理解起来就简单多了。那次的演讲非常成功，得到了很多成熟老师的认可。身边越来越多的同事说我太有做老师的潜质了，自己也越来越有成就感，难道自己真的适合当老师？

本来信誓旦旦说只教一年学玩玩的我，再也不提离职的事了，因为自己在实践数学课程的过程中，每天都能看到孩子们非常愉悦地参与课堂游戏，即使个别思维比较慢的孩子，也没有显现出一点的自卑，也是非常积极快乐地参与每一节课。

是的，就是因为这一次次的高峰体验和孩子们课堂上愉悦地互动，让我对贞元的数学课程越来越入迷。我开始对自己提出更高的要求，我不能仅仅停留在模仿或者“无脑”的实施者这一层面，我要清清楚楚地知道每一节课背后的设计原理。于是开始期待每周三的数学教研，积极与身边老师互动。

就这样兴奋地努力了一段时间，但是，但是因为各种原因，王校要离开我们学校了。我再也不能随时面对面地寻求王校的帮助了。尽管他离开后我还是很努力地研读课程资料，但还是有很多疑惑没能得到解决。

于是，经过王校同意，我托王校所在学校的老师帮我录音。从那个时候起，我开启了漫长的整理教研录音之旅。那段时间最开心的三件事：上课，写课堂实录，整理教研录音。

提到课堂实录，就想到了曾经的自己，在王校威逼利诱下我写下了属于自己的第一篇课堂实录，在他走后，我竟开始主动写课堂实录，而且一篇接着一篇。（那时真的没想到，几年后，我们竟然一起完成了一系列的《玩游戏，学数学》书籍，每本书将近20万字，我们竟然合力完成了10本，我是不是太厉害了）

每天备课时，我会把要达成的临时性共识变成问题，并反复琢磨如何追问更准确，更简洁，并一个字一个字地打出来。我还会预想孩子可能会如何回答，我应该如何应对。课后，再经过反思整理课堂实录。实录一发出来，王校、俊杰都会表扬我，我就像一个长不大的孩子，反反复复地看着他们的表扬，傻笑半天。我曾经有一段时间幼稚到什么程度呢？我会把王校夸我的录音反反复复听上几十遍，只听夸我的那几句哦！

此时，我再次打开王校曾经鼓励我的朋友圈，眼泪夺眶而出：真的非常感谢王校曾在我不够成熟时，用对待孩子一样的耐心鼓励我，让我越来越坚定地走下去。正因为有王校的耐心与鼓励，才会有现在的我。

一转眼，自己竟然教到了五六年级，我突然发现自己写实录和整理教研录音的时间越来越多，而准备教具的时间却越来越少。对比一二年级的课程，我发觉我们的课程设计大为不同：低段操作性游戏特别多，而到了五六年级，思的东西越来越多，也就是说从动作游戏转变到了思维游戏。

由于在小学低段认识平面图形时，孩子们已经积累了大量的图形分割和拼接的动手操作，到了五年级学习《多边形面积》的浪漫起始课时，孩子们就可以在不动手操作的情况下，基于课前挑战单这个脚手架非常顺利地说出长方形可以沿着其对角线割成两个完全一样的直角三角形，进而求出直角三角形的面积；任意一个三角形沿着其高线可以割成两个直角三角形，进而就可以求出任意的三角形面积；任意一个平行四边形可以沿着其对角线切割成两个完全一样的三角形，进而平行四边形的面积就解决了；梯形沿着其对角线也可以割成两个三角形，梯形的面积也解决了；后续，大家还发明创造出了更多的割补方法。

看着孩子们兴趣如此高涨，我不再局限于中规中矩的课堂对话，开始尝试完全放手，让孩子们分成几个小组，以小组为单位探索每个多边形的面积公式，最后，每组派出一个代表分享如何得到常见的多边形面积公式。

以前，我认为小学的课程太简单，没有什么可讲的，比如，多边形的面积公式，几秒钟就说完了，学生记住，然后练习就可以了。但是我们需要把表面上看起来太简单的知识变的复杂化，做一个逆向的过程。这个复杂化是结合儿童的认知规律，只有让孩子真正的去穿越每一个观念的建构历程，孩子们内在的思才能越来越灵活。

一章学完之后，学生是否可以以脑图的方式表达整章核心观念的建构历程呢？思维脑图关注的是内在的认知图式，而不是外在的客观的知识系统。思维脑图可以将大脑中的观念结构化，不然每个观念都是孤零零的存在，很容易被孩子遗忘。我们需要将其放入一个系统之中，把每个观念联系起来。最后一定要注意未来发展，每形成当下一个知识结构，一定要考虑其生长性。

为了让挑战更大，我提出了一个更好玩的事情，你是否可以用论文描述你们探索多边形面积公式的整个历程呢？于是，我们就有了新的，更大的创造。

让我最最吃惊的是，王瀚同学在论文的最后，利用图形运动，拉伸变换将所有探索过的多边形面积公式进行了对比和联系。他讲道：如果把梯形的上底看成可以任意拉伸和压缩的线，那么上底就可以拉长到与下底一样长，那么梯形就可以变成长方形，那么梯形的面积公式s=(a b)×h ÷2，就变成了(b b)×h ÷2=bh，哇，这不就是长方形的面积公式吗？梯形的底就是长方形的长，梯形的高就是长方形的宽。两个看似完全不一样的图形竟然有如此大的联系；如果把梯形的上底继续缩小到一个点，它就可以变成一个三角形；同理，如果把长方形上边的长压缩，就可以得到一个梯形，如果继续压缩，直至到一个点，就变成了三角形；同理，如果把三角形的顶点拉长，可以成为梯形，拉的与下底一样长，就可以成为长方形；如果把一个平行四边形相临的两条边的位置关系变成互相垂直，就成了一个长方形；反之，长方形也可以变成一个平行四边形。

以上这些探索过程，目的并不是要强化训练某个知识点，而是为了揭示不同观念之间的“关系”，是为了协助儿童发现数学的奥秘和神奇！提高儿童数学思维的灵活性与深刻性。

接下来，我们每学完一章，都会自由挑战论文，甚至在学习之前，也可以写探索性的小论文，就这样，由一开始的一两个学生挑战论文，慢慢地到五六个。在我们学完扇形面积与周长后，第一次实现了全班学生挑战论文。到了学习圆柱与圆锥时，论文挑战再次推向高潮，全班人均3篇论文，并在学校公众号上发表了21篇高质量的论文。

这是两个班一学期的论文成长档案，其中，五年级的王瀚一学期写了二十多篇论文，并在公众号发表15篇高质量的论文，六年级的丹洋一学期写了三十多篇论文，并在公众号发表16篇论文。

另外值得一提的是丹洋和辛巴同学，在寒假期间挑战的一篇毕业论文，字数刷新了我的认知，多达一万字。

那一段时间，每天最兴奋的时刻就是收到学生的论文，我总是一边欣赏，一边夸孩子，最后也不忘夸夸自己，我们一起为自己的创造而成就感爆棚。

就这样，在情感与理性的相互编织下，很快迎来了孩子们的小学毕业。那一年的期末总结中我说道：“每次谈到孩子们，我总是自叹不如，自己小时候不如他们思维好，也不如他们努力，本以为只有一项可以与他们匹配，那就是我们都喜欢创新与挑战，但现在才明白就连这点我也不如他们。我经常告诉他们要对未知充满好奇，要敢于挑战，失败并不可怕，可怕的是你还没有挑战就觉得自己不行。然而，当好奇与挑战已经成为了他们的本能时，我却在退缩。是的，我不敢上初中了。

'愿你继续保持好奇，愿你一直开怀大笑，保持对知识的渴望和原因的追问’'不会就学呀，这还有什么难的，不能说知识有限就不努力了呀’'能力不够，但我想说教育方法才是最重要的’孩子们的这些话在不停地激励着我，帮助我做出了选择。我是否可以在重要时刻肩负起自己应有的承担呢？

是的，我最终选择了与孩子们同行，一起踏上了初中的探索之路。

我是谁？

也许是因为有了六年小学课程的积累，和平时跨学段的教研，初中课程好像并没有自己想象的那么难，所以初中的前两年还是蛮顺利的。

没有太触目的孩子需要自己花心思去帮助。喜欢挑战的孩子也越来越多，他们接受初中的知识好像也没有想象的那么难。课程对于我来说也没有了任何的挑战，我再也不需要反复听录音来了解课程的逻辑了。每天都是备课，讲课，批作业，每天都在重复着一样的事情，长时间停留在平庸，缺少思维上的豁然开朗，我开始陷入了虚无，我感觉自己对教育没了兴趣。我不停地追问自己真的喜欢教学吗？我真的愿意一辈子当老师吗？答案好像并没有那么坚定，于是就开始各种自我怀疑，怀疑当初努力钻研课程的自己，怀疑为了追随王校短短时间内就跑了四五个城市的自己，甚至怀疑自己是否真的爱孩子，爱这个数学课程。每每在上课的时候，我能感受到自己真实的存在，我也能感受到自己对课程，对孩子是喜欢的，但是课堂一结束，我看着周围的老师每天都在忙着自己的事情，为课程兴奋着，为孩子的成长开心着，而我就是一个局外人。

这样的怀疑持续了很久很久，在追寻意义无果的情况下，我又遭遇到了新的问题——中考。以前，我坚信我们的教学方式应考没有任何问题，但是一模的成绩让我再次陷入深深的怀疑，简直就是把我坚持了8年的事业一下子全部否定。那一刻，我开始焦虑，从不抱怨的我开始抱怨学生的起点低；抱怨家长与学校目标不一致；埋怨自己不会做难题......

抱怨让我感觉我再也不是孩子们喜欢的老师，家长满意的老师，专业的数学老师。那我是谁呢？

我是谁…

负面情绪爆发后，我开始理性地思考解决问题的方法，我们的孩子真的不能应对考试吗？有了理性的夹持，我再次坚信我的孩子绝对可以应考。平时，我们数学如此强调观念建构，怎么可能不能应考呢？不过我们强调根据自己已有经验，探索式地挑战未知领域的问题，也就是说我们平时更注重纵向探索，创造，而中考中的综合性的难题或压轴题是偏横向的，那么，孩子们应对这些难题的经验就比较少。再加上自己的经验不足，有些必考的基础题没有扎扎实实落下来。

分析清楚原因后，我自己不再焦虑，尝试着以游戏精神面对接下来的中考。游戏精神并不是躺平，更不是无所谓，而是以自由创造的心态面对中考。重基础，发展自己和孩子做难题的能力。当自己心态变了，生命状态就变了，最后我们在没有大量刷题的前提下，取得了非常满意的成绩，120分的试卷。全班只有三个孩子的数学成绩没有上100，最高成绩达到了118。

现在想想，那时候的焦虑真的是大可不必。以前，王校总说做题技巧很简单，反而把建构弄清楚很难。这个时候想想确实如此，所有注重向内的东西要远远难于向外的东西，甚至此刻的我，怀疑当时因为中考崩溃的我是假的，因为我好像从来没有想通过学生的分数来界定我的价值和意义，更没有想通过家长的满意度来界定我的价值和意义。那我自己存在的价值和意义到底是什么呢？

我不断地尝试寻求同伴的帮助，想通过与同伴的对话，寻求找意义的方法与策略。甚至想像自然科学一样给意义下个确定的定义，然后朝着它去努力。找寻了很久，我发现意义为何物这样的根本性大问题根本没有确定的定义。

就在前几天的孔子诞辰日，教师宣言中的一句话，让我彻底明白了自己一开始虚无的原因。“我愿意过一种幸福完整的教育生活，以创造赢得尊严，以创造对抗虚无，享有自由。”是呀，以创造对抗虚无，我的虚无就是因为我已经远远不满足自己当下的创造了！是呀，我曾很长一段时间感觉自己在课程上没有太大的进步，很久没有了因课程而兴奋的感觉了。换句话说，我已经适应了当下的创造，当下的创造让我习焉不察，我需要更大的创造让我感受到自己的存在。我的课程可能进入了瓶颈期。

而这学期开学两个多月了，我突然感觉我又活过来了，因为我再次感受到了对课程的兴奋，上相似图形兴奋了，上圆更兴奋了，我一直在思考这是为什么？去年的river整体水平要比今年的橄榄树要好太多，此刻的我为什么兴奋了呢？当然首要原因是，第二次课程实践，内容会变得更系统，更清晰。其实最重要的原因是因为“人”，对的，就是因为“人”，每一个小树都那么的与众不同，那么的真，那么的可爱。就连做挑战单犯的错都那么与众不同，那么多样化，而我竟然每次看到这些典型的认知冲突后，会兴奋，哦，原来他是这样想的，哦，原来他又是这样思考的。基于孩子的典型问题，让我对每个大观念的建构历程更加清晰。今年的课程实施中，让我对这两句话体会更深了，从核心观念的角度，抵达“教之先对教的拥有”。从儿童认知发展规律的角度，抵达“教之先对教的拥有”。是的，课程永无止境，创造永无止境。

听高中的课更是兴奋，我清晰地感觉到每天的自己都在输入新的东西。有了高中课程的浪漫感知，反观初中的内容，又是一个新的领悟。我终于又活过来了。我再次清晰地感受到自己的存在。

暑假的共读，让我也明白我应该有所承担，在承担的过程中朝向自己的本真能在。只有这样，才能真正地触及到生命的意义与价值，才能真正地解决我生命的价值和意义问题。于是，我开始不再局限自己是一个班的数学老师，再往外一点点，我还是数学教研组组长，于是，我开始在教研组层面积极表达，尽自己所能帮助有需求的老师。哪天因听王校的课兴奋了，就会转换成文字，发群里与大家分享。再往外一点点，我还是新网师的讲师，我不再将其当成一个任务，而是积极地准备每一节课，我期待能通过自己的努力让更多的人了解到贞元的课程，我更希望尽自己的努力帮助的到那些努力渴望成长但不在贞元的老师们，他们的改变又将会有多少孩子受益呢？