【原】经开外校八（8）班因式分解展示讲解之公式法

因式分解 之 公式法

相关组织：武汉经开外国语学校808天鲲之家

制作人员：陈修齐，张展硕，肖天翼，李文睿

审核人员：刘睿熙

把乘法公式反过来用，可以把符合公式特点的多项式因式分解，这种方法叫公式法。

一、直接用公式法

(1) (x²＋y²)²－4x²y²

(2) (x²＋6x)²＋18(x²＋6x)＋81

解:(1)原式=(x²＋y²＋2xy)(x²＋y²－2xy)=(x＋y)²(x－y)²

(2)原式=(x²＋6x＋9)²=[(x＋3)²]²=(x＋3)⁴

二、先提再套法

－3x⁷＋24x⁵－48x³

解：原式=－3x³(x⁴－8x²＋16)=－3x³(x²－4)²=－3x³(x＋2)⁴

三、先局部再整体法

9x²－16－(x＋3)(3x＋4)

解:原式=(3x＋4)(3x－4)－(x＋3)(3x＋4)=(3x＋4)[(3x－4)－(x＋3)]=(3x＋4)(2x－7)

四、 先展开再分解法

4x(y－x)－y²

解:原式=4xy－4x²－y²=－(4x²－4xy＋y²)=－(2x－y)²

下面来看一些拓展例题。

1.求证：1999×2000×2001×2002＋1 是－个整数的平方，并求出这个整数.

解：设1999=a，则有

原式=a(a＋1)(a＋2)(a＋3)＋1=a(a＋3)(a＋1)(a＋2)＋1

=(a²＋3a)(a²＋3a＋2)＋1=(a²＋3a)²＋2(a²＋3a)＋1

=(a²＋3a＋1)²

∴原式=(1999²＋3×1999＋1)²,得证.

2.设 a－b=1＋m,b－c=1－m, 求 a²＋b²＋c²－ab－bc－ca的 值

解：∵ a－b=1＋m ①,b－c=1－m②,

①＋②得： a－c=2，

原式=0.5[(a－b)²＋(b－c)²＋(a－c)²]=3+m²

3.已知实数a，b，x，y满足ax＋by=3，ay－by=5，求(a²＋b²)(x²＋y²)的值。

解：∵ax＋by =3 ①，ay－bx =5 ②，

∴( ax＋by )²=9，即a²x²＋b²y²＋2abxy=9 ③，

∴( ay－bx )²=25，即a²y²＋b²x²－2abxy=25 ④，

③＋④得a²x²＋b²y²＋ a²y²＋b²x²=34，

∴a²(x²＋y²)＋b²(x²＋y²)=34，

∴(x²＋y²)(a²＋b²)=34.

4.设a，b，c，d都是自然数，且a⁵=b⁴，c³=d²，a－c=17，求d－b的值。

解：设a⁵=b⁴=m²⁰，c³=d²=n⁶（m，n均为自然数）

∴a=m⁴，b=m⁵，c=n²，d=n³

∵a－c=17

∴(m⁴－n²)=17

∴(m²－n)(m²＋n)=17

又∵m，n均为自然数

∴m²－n，m²＋n均为自然数

∴m²＋n=17，m²－n=1

解得m=3，n=8

∴d－b=(n³－m⁵)=8³－3⁵=269