微积分初步——根据导数定义 推导常见函数的求导公式（一起倾听莫扎特：降E大调第一交响曲，作品编号kv16）

导数，在高中数学的使用，终其所有，无非就是在来回折腾它的几何意义

1、求导然后求切线方程

2、求导判断区间单调性

3、求二阶导判断曲线的凹凸

现在的问题是，如何求导？

既然导数是函数变化率的极限值，那么求导也就是求极限。

我们先从最简单的开始：

1如果函数是常数函数，则它的切线就是一条平行于x轴的直线，斜率值为0，也就是：

如果是一次函数，也就是

它的导函数其实就是它的切线函数，而直线的切线就是它自身，所以导函数值也就是这条直线的斜率值。

结论：

2、   如果是一个二次函数，求导方式还是一样：

3、如果面对的是自变量的n次方呢？

上式转变为求多项式的极限，此时，首项决定一切，所以：

结论：

4、如果碰到的是正弦函数，那么

所以上式转变为：

此时，我们可以看到上式中，有一个重要的极限值：

这是一个可能被反复拿来使用的极限值，它可以借助直角三角形，并使用夹逼定理求双侧极限来完成证明。

不过，具体的证明过程，包括另外几个重要的极限，比如自然常数e，我们会在后续的短文中一一详细介绍，在这里出于短文连续性的考虑，直接拿来使用。

因此：

结论：

那么，如果

结论：

5、如果我们面前是一个对数函数：

根据导数的定义，我们继续求变化率的极限值

到了这里又出现一个以后会被反复使用的极其重要的极限：

我们称这个e为自然常数，数学上将上述极限值定义为e。它的来源详见短文：自然常数e是怎么来的？，它的极限值计算过程以及结果，在后续文章中将详细介绍，我们在这里还是采用拿来就用的原则，确保本篇短文的连续性。

我们把对数的真数部分单独拿出来看：

这个式子似乎并不符合极限值自然常数e的形式，我们需要对它进行有目的地改造，使其变成已知极限的形式：

因此上式等价于：

将这个结果代入最初的对数极限：

结论：

6、最后是我们的指数函数求导：

指数函数的求导，如果我们直接采用求极限的办法会陷入一个无法自拔的循环论证的怪圈，比如：

对于上式中的

此时，如果德尔塔x趋近0，上式中分子分母都趋近0，形成0比0这种尴尬局面，如果我们采用神奇的洛必达法则，分子分母分别求导，能够得到

但是很明显，我们采用了本来需要证明的指数函数的求导结论，这个结论此时是不合法的，所以上述方法就是循环论证。

指数函数的求导方法，我们似乎需要采用另外一种途径才好。

好在我们知道同底数指数函数和对数函数是反函数，所以有：

对数如何求导我们是会的，也就是：

我们也可以将结果写成另一种形式：

这种形式表明的是函数针对自变量x求导。

对于函数

我们此时如果针对y求导，就会得到

根据链式求导法则，上下颠倒，就可以得到：

上式表明的就是指数函数针对x求导的结果。

结论：

至此，根据导数的定义，我们用求极限的方式，把几个函数的求导公式推导出来，但很明显，计算过程中采用了重要极限的计算结果，以及指数函数求导中，采用了链式求导法则，这些极限怎么来的，链式法则又是一种什么法则，本文中都没有涉及，这些东西我们都会在后续的短文中，逐个详细介绍。

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