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今天我们来学习导数的几何应用，这一块的知识点不仅是我们同学们在高等数学期末考试中要复习的知识点，也是我们考研数学的高频、必考考点。在今天的学习中，我们先不谈定理，不谈数学语言，只用画图的方式帮助大家直观的来了解。 一、前两大概念（单调性、极值点） 首先是单调区间：
可以看出，导数是正数的话，说明函数的变化率是正的，也就是函数递增。因此f'(x)≥0是单调增的判别条件。单减同理。 通常做题的话我们理解到这里就够了。 不过为了对这个知识点理解的更严谨，也是为了特殊情况下遇到考概念的题，所以还需要我们明确一点，导数的正负只是判别条件，或者说，它叫做充分（但非必要）的条件。实际上函数单调性的定义如下：
单调性的前提是函数f(x)有定义，我们知道“有定义”不一定连续，连续又不一定可导。（反之，若可导必连续，若连续必有定义） 所以我们需要记住，导数的正负性可以用来判别一般情况下（也就是可导的时候）的单调性，但是单调性并不和它划等号。 接着我们来看极值点：
不难看出，极值点就是单调区间的分界点，图中的含义也就是极值的判别方法：“看一点处的左右两侧导数，左增右减→极大值点，左减右增→极小值点” 这个叫做极值判别的第一充分条件。 另外还有第二充分条件，这个方法更简单，只需要看函数在这一点的情况，而无需看左边和右边： “若一点处的一阶导数值为0，该点二阶导数值小于0→极大值点，二阶导数值大于0→极小值点”
这里我们注意一下，一点处二阶导数f''(x)的正负性，它代表着一阶导数f'(x)的单调性，也就是斜率f'(x)的取值递减时，二阶导数小于0，对应的图形向上凸。反之则向下凹。
和单调性类似的是，极值点的这个判定也只不过是充分非必要条件。实际上极值点的定义也不要求可导，甚至不要求连续：
二、后两大概念（凹凸性、拐点） 不少同学可能会觉得这一块的概念比较繁多、复杂。当我们学到后面这两个概念的时候，担心一下子记不住这4大概念，或者记不全。 那接下来我们就用一个“照搬”的思路方法，来记忆后两大概念，来实现“无需记忆”的效果：
从图中可以看出，函数f(x)的凹凸性其实就是该函数的一阶导函数f'(x)的单调性。凹凸区间也就是一阶导函数的单调区间。具体的判别方法和前面完全一样。 这里我们需要注意，凹凸性定义中的前提是函数要连续：
而拐点，指的就是凹凸区间的分界点，也就是函数的一阶导函数f'(x)的单调区间的分界点，或叫做一阶导函数f'(x)的极值点。 所以拐点的判别条件，就是一阶导函数f'(x)的极值点的判别条件！ 再回到前面看一遍极值点的第一、第二判别条件，我们就清楚如何判别了。
例如拐点的第一充分条件是： “看一点处的左右两侧二阶导数，左增右减或左减右增→拐点” 拐点的第二充分条件是： “若一点处的二阶导数值为0，该点三阶导数值小于0或大于0→拐点” 都是在前面极值点的判别条件上略作修改得到的。 好了，今天我们的导数应用四大概念分享就到这里！我们下期下一个精彩内容再见！
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