微分 - 高阶导数

1 二阶导数

如果函数 的 导数 仍是 的可导函数 , 那么称 的 导数为函数 的二阶导数 , 记作 :

或

或

或

1.2 二阶导数的物理意义

假设 有汽车做匀加速直线运动 , 则此时距离(路程)函数 和时间 是一个如下的二次函数 :

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sympy import *from sympy import lambdifyfrom sympy.abc import x,tfrom IPython.display import display, Math
def show(left,right): display(Math(left+latex(right)))
s_t = t**2 + 1show('函数 \\ S(t)=',s_t)
func_s_t=lambdify(t,s_t)
t_array = np.linspace(0,4,100)s_array = func_s_t(t_array)
fig, ax = plt.subplots(figsize = (5,5))
plt.plot(t_array, s_array,linewidth = 1.25)
ax.set_xlim(0, 2)ax.set_ylim(1, 4)plt.xlabel('$t$')plt.ylabel('$S(t)$')ax.grid(True)

从图像上看 :

• 距离函数 在不同时间 的切线斜率不同 , 随着 增大 , 切线斜率不断变大 ;
• 切线斜率即 的一阶导数 , 就是某一时间 对应的瞬时速度

ds_dt = diff(s_t)show('一阶导数 \\ V(t) = S^\prime(t) = ',ds_dt)
v_t = ds_dtfunc_v_t = lambdify(t,v_t)
v_array = func_v_t(t_array)
fig, ax = plt.subplots(figsize = (5,5))
plt.plot(t_array, v_array,linewidth = 1.25)
ax.set_xlim(0, 2)ax.set_ylim(0, 4)plt.xlabel('$t$')plt.ylabel('$V(t)$')ax.grid(True)

从图像上看 :

• 速度函数 在不同时间 的切线斜率不变 ;
• 切线斜率即速度函数 的 一阶导数 , 同时是 的二阶导数 , 就是某一时间 的加速度

dv_dt = diff(v_t)show('二阶导数 \\ a(t) = V^{\prime}(t) = S^{\prime\prime}(t) = ',dv_dt)
func_a_t = lambdify(t,dv_dt)a_array = func_a_t(t_array)
aa, tt = np.meshgrid(a_array, t_array)
fig, ax = plt.subplots(figsize = (5,5))plt.plot(tt,aa,linewidth = 1.25)
ax.set_xlim(0, 2)ax.set_ylim(0, 4)plt.xlabel('$t$')plt.ylabel('$a(t)$')ax.grid(True)

2 高阶导数

设 , , 如果函数 的 阶导数仍可导 , 便称 阶导数的导数为函数 的 阶导数 .

• 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数 ;
• 如果函数 具有 阶导数 , 则函数 的一切低于 阶的导数均存在 .

2.1 三阶导数

时 , 记作 :

或

或

或

2.2 阶导数

时 , 记作 :

或

或

或

2.2.1 的 阶导数

当 时 , 可得

2.2.2 的 阶导数

2.2.3 的 阶导数

2.2.4 的 阶导数

2.3 高阶导数的基本运算法则

定理 如果函数 和 的 阶导数在定义域内均存在 , 则 :

定理 如果函数 和 的 阶导数在定义域内均存在 , 则 :

即

其中